Jelölje x a matematikát?

 „Tételezzük fel, hogy az x a példában szereplő bárányok száma”, mondja a John Edensor Littlewood által a matematikai érdekességekről írott könyvben egy tanár, mire a diák azt válaszolja, hogy „Nem, inkább tételezzük fel, hogy az x nem a bárányok száma”. Wittgenstein szerint ez egy teljes értékű filozófiai vicc, és nem mellékesen nekem erősen úgy tűnik, hogy bizonyos értelemben a matematika is ilyen.

Ott vannak például az osztók. Az ókori Hellászban úgy gondolták, hogy a mi kifejezésünkkel élve a természetes számoknak két alapvető tulajdonságuk van: az, hogy mekkorák; illetve, hogy milyen számokkal oszthatóak. Ez a megközelítés kimondottan termékenynek bizonyult, mivel így gyorsan eljutottak nem csak a tökéletes számokhoz, ahol a szám osztóinak összege – magát a számot nem számolva ide – azonos a számmal: ilyen például a 6 (1+2+3). De ugyanígy a barátságos számokhoz (ahol az egyik szám osztóinak összege azonos a másik szám osztóinak összegével; ilyen a 220 és a 284); továbbá a ma alapvető jelentőségűnek tekintett prímszámokhoz is.
Ezt a koncepciót persze, ahol a számokon és osztóikon van a hangsúly, ki is terjeszthetjük. Feltehetjük például azt a kérdést, hogy
•    mely számok egyenlők egy, náluk kisebb szám osztóinak összegével (ezt jobb híján „egyirányú barátságos számnak” neveztem el, és például a 16 egyenlő a 12 osztóinak összegével);
•    mely számok esetén igaz, hogy az A szám + B szám osztói összege = B szám + A szám osztói összege (pl. 2 és 4);
•    mely számoknál látjuk azt, hogy az egyik szám + a másik osztóinak összege = másik szám + az egyik osztói összege (ilyen többek között a 3 és 20);
•    mely számok esetén találjuk azt, hogy az egyik szám + osztói összege = a másik szám + osztói összegével (pl. 6 és 11).
Amiben nem csak az az érdekes, hogy léteznek ilyen számok; illetve, hogy innentől kezdve talán leginkább történeti véletlennek tekinthető, hogy míg a barátságos számok népszerűek voltak, addig mondjuk az „egyirányú barátságos számok” nem kaptak különösebb figyelmet. Pedig miközben egyszerűen előállíthatóak, aközben – legalábbis nekem – ugyanúgy nem sikerült szabályt találnom rá, hogy hol fognak legközelebb felbukkanni, mint ahogy a prímekre sem ismert ilyen szabály. Erős a gyanúm, hogy a természetes számokból kiindulva és egyszerű szabályok alapján is könnyű olyan rendszereket létrehozni, ahol az a legegyszerűbb (vagy éppen az egyetlen) módja annak a kiderítése, hogy egy adott szám ilyen vagy olyan-e (mondjuk prím vagy „egyirányú barátságos szám”), ha kiszámítjuk. Értsd: a prímszámok „előre jelezhetetlensége” talán nem is meglepő és unikális tulajdonság (mármint ha igazam van).
Ráadásul eközben mintha csak a „legyen a bárányok száma x” helyzet állna elő. Ugyanis az osztókat (és ennek megfelelően az osztók összegét) többféleképpen is számolhatjuk.
Az egyik szerint az számít a szám osztójának, amivel a számot osztani lehet, vagyis ide tartozik az 1 meg maga a szám is (és az osztók ilyetén számolását a matematikában sigma(n)-nel jelölik). Ehhez képest az ókori görög matematikában az 1-et az osztók közé számolták, magát a számot viszont nem: ezért is lehetett a 6 tökéletes szám (közbevetőleg: egyetlen páratlan, tökéletes számot sem ismerünk, és Carl Pomerance-nak van egy levezetése, amely alapján valószínűnek tűnik, hogy ilyen nincs is).
De ha magát a számot nem tekintjük osztónak, akkor miért tekintenénk annak az 1-et? Elvégre a matematikában mindkettő „triviális” osztónak tekintik. Így számolva viszont legalább 1000-ig (tovább nem néztem meg) egyetlen tökéletes szám sem fog felbukkanni.
És ez esetben viszont tényleg elgondolkodhatunk rajta, hogy mit jelöljön, vagy ne jelöljön az a bizonyos, a bárányos viccben szereplő x.

Eukleidész és az origami

1847-ben egy Oliver Bryne nevű angol matematikus, aki amúgy Őfelsége alkalmazottjaként a Falkland-szigetekért felelt, megjelenttette az új illusztrációkkal ellátott Eukleidész-féle Elemeket. Ez „az egész 19. század egyik legkülönösebb és legszebb műve volt”, amelyben pirossal, sárgával, kékkel és feketével színezték ki a szögeket, területeket, vonalakat (és helyettesítették a betűkkel történő jelölést). Az eredmény: „Eukleidész sokkal intuitívabb lett… esztétikailag [pedig] jóval megelőzte a saját korát. A rikító, tiszta színek, aszimmetrikus tördelés, absztrakt formák és az üresen hagyott térrészek [mintegy] előre vetítették számos 20. századi festő műveit”, illetve a Bauhaust és a De Sijlt, mondja Alex Bellos brit tudománynépszerűsítő író.

Viszont bár azon kevés angol könyv egyike volt, amelyet a Londoni Világkiállításon is bemutattak, a kinyomtatott példányok háromnegyed része raktáron maradt, és két évvel később a kiadó csődbe is ment, és az egész a számomra a leginkább az érdekes, mert a külső megjelenése mellett miért is ne gondolhatnánk újra az ógörög geometriát más szempontból is?
Különösen, hogy a Philip Davis – Reuben Hersh szerzőpáros megfogalmazásával élve „Eukleidész mítosza” azt a meggyőződést jelenti, mely szerint az Elemek „az egész világra vonatkozó világos és kétségbevonhatatlan igazságokat tartalmaznak”. Valójában azonban legalább három, különböző típusú kérdést érdemes feltenni: mennyire szükségszerűek az ebben használt
•    kézzelfogható eszközök, melyeket az eukleidészi geometria „előállítására” szolgálnak; mennyire kézenfekvőek és jól megalapozottak a
•    matematikai definíciói és fogalmai; végezetül pedig léteznek
•    magára a matematika mibenlétére vonatkozó megfontolások is (amely leginkább a matematika filozófiához tartozik).
Ami a fentebbiek közül az elsőt illeti, az „eukleidészi szerkesztés” kizárólag a körző és az egyélű vonalzó (bizonyos módokon történő) használatát engedi meg. Márpedig ez nagyon is komoly korlátozást jelent annak ellenére is, hogy hatékonynak bizonyult mint kiindulási pont. És olyan következményei is vannak, mint mondjuk a pi kitüntetett szerepe, hiszen mennyire más lenne az egész geometria, ha a körző helyett ad absurdum egy rögzített szöggel meg egy rugalmas zsinórral dolgoznánk?
Amihez persze azt is érdemes hozzá tenni, hogy a hagyományos alapoktól el lehetett jutni a nem eukleidészi geometriákhoz – egy papírhajtogatáson alapuló „origami-geometriából” azonban nem valószínű, hogy sikerülne utat találnunk a hagyományos geometriákhoz.
Ugyanekkor vannak olyan feladatok, melyeket kizárólag „eukleidészi eszközökkel” nem tudunk megoldani. Ilyen
•    a déloszi probléma (ahol egy kétszeres térfogatú, kocka alakú oltárt kellene elkészíteni);
•    a szögharmadolás;
•    a kör négyszögesítése és
•    a szabályos hétszög szerkesztése
is.
Ami persze nem jelenti azt, hogy egyes, a „körzős-vonalzós” geometrián belül megoldhatatlan problémákra nincs válasz máshol. Margherita P. Beloch olasz matematikus még 1936-ban bebizonyította, hogy az „origami-geometria” segítségével elő tudunk állítani olyan kockát, amelynek a térfogata a kétszerese az eredetinek, és ma már, mondhatni, külön irányzat épült a papírhajtogatásos módszerekre, bizonyításokra meg tételekre. És itt nem is annyira önmagában az eredmény érdekes, hiszen a gyök kettőhöz (ld. kockakétszerezés) máshogy is eljuthatunk, hanem inkább az, hogy eközben valamit valamiért. Egy origami-geometriában az egyre többoldalú, szabályos sokszögeken keresztül eljuthatnánk ugyan a körig (sőt, a pi értékének kiszámításához is), ám egyáltalán nem biztos, hogy a kör ugyanolyan centrális alakzata lenne a geometriának, mint így. Sőt, én személy szerint szinte biztos vagyok benne, hogy nem.
És akkor arról még nem is beszéltünk, hogy hátha a Beloch-féle úton továbbhaladva olyan kérdéseket vethetünk fel, amelyeket a hagyományos megközelítés nem tesz lehetővé – és ezzel még mindig nincs vége a kérdéseknek.
Reuben Hersh a matematika mítoszai között említi, hogy „az általunk ismert matematika az egyetlen lehetséges”. Ez azonban nem igaz, hiszen miként a fentebbiekből már kiderülhetett, a felhasznált eszközök (ld. körző és vonalzó vs papírhajtogatás) befolyásolhatják, hogy mi számít jó vagy érdekes problémának.
Illetve azt is megtehetjük, hogy nem az eszközöket, hanem az alapfogalmakat értelmezzük újra: a fraktálgeometria például értelmezhető úgy is, mint ahol elvetjük azt a hagyományos (eukleidészi) felfogást, mely szerint valami vagy nulla (pont); vagy 1 (egyenes); vagy 2 dimenzióval (sík) rendelkezik stb., és e helyett azt mondjuk, hogy léteznek nem egész számú dimenziók is. Ami persze egyben azt is jelenti, hogy ha a Bólyai-Lobacsevszkij- féle az eukleidészi geometria keretrendszerén belülről érkezett egy posztulátum átértelmezésével (és honnét máshonnét is érkezhetett volna), akkor Mandelbrot minőségileg mást csinált, ugyanis mintegy az alapokat újraértelmezve, a hagyományos felfogás mellé állította a sajátját – és Poincaré talán még inkább ugyanezt tette a topológia („gumigeometria”) megalkotásakor.
Mindenesetre innentől kezdve elkezdhetünk azon tűnődni, hogy milyen, „más eszközalapú”; illetve más, „fogalom alapú” geometriák (mint amilyen a fraktálgeometria is) képzelhetőek el, és erős a gyanúm, hogy még mindkét területen rengeteg lehetőség van.