Természettudományos vs filozófiai matematika

Kialakulásakor a (modern) természettudományokat a matematika analógiájára képzelték el (sőt, Spinoza például még az etikát is tételekre és bizonyításokra próbálta visszavezetni). De mi lenne, ha fordítanánk egyet a dolgon, és most a matematikát próbálnánk a modern természettudományok mintájára elképzelni?
A matematika eddigi története jó közelítésben három fázisra osztható.

• Az elsőben a matematikai „tényeket” (mint amilyen az is, hogy a háromszög szögeinek összege 180 fok) abszolútnak és megkérdőjelezhetetlennek tekintették.
• A másodikban (a nem eukleidészi geometriák megjelenését követően) Dedekind és Weiterstrass a geometria helyett az aritmetikát választották a matematika alapjául. Ezzel párhuzamosan az „abszolút igazság” helyett az ellentmondás-mentesség vált elvárássá.
• És bár Gödel óta senki sem hiszi, hogy ez maradéktalanul megvalósítható lenne a matematikán belül, a szám (és ezen belül is a természetes szám) fogalma továbbra is kitüntetett maradt a matematika megalapozására tett kísérletekben.

Tehát nem ártana némi figyelmet szentelni annak a látszólag triviális (és látszólag legfeljebb a filozófusokat érdeklő) kérdésnek, hogy ha már aritmetikáról beszélünk, akkor miért igaz az, hogy 7+3=10.
Frege erre azt válaszolja, hogy „Akárki beláthatja, hogy 7+3=10. Efelől nem lehet kétség. Ez nyilvánvalóan valóságos a priori [eleve adott], most és mindörökké, biztosan és kétségbevonhatatlanul.”
Ami természetesen platonista megközelítés, és aki nem hiszi (mint ahogy én például nem), hogy a matematikai objektumok valamiképpen „létezőek”, és mi nem kitalálunk, hanem csupán felfedezünk (megtalálunk) összefüggéseket, annak ez nem lesz elfogadható érvelés. Ugyanis ha Frege azt állítja, hogy szerinte a priori, akkor ezzel ugyanilyen joggal azt szegezhetem szembe, hogy szerintem viszont nem. Értsd: valójában nem érvelést, hanem állítást hallottunk, amit aztán vagy elfogadunk, vagy nem.
Viszont John Stuart Mill azt mondja, hogy azért lehetünk benne biztosak, mert számtalanszor volt alkalmunk megfigyelni, hogy hét almához (körtéhez, bármihez) hozzáadva további hármat egy tíz elemből álló halmazt kapunk. Értsd: tapasztalati tény. És ezen a ponton tegyünk egy látszólagos kitérőt azzal kapcsolatban, hogy L. J. Brouwer intiucionista matematikus szerint nem igaz a kizárt harmadik elve, vagyis: nem igaz, hogy minden valós szám vagy pozitív, vagy negatív, vagy nulla.
Ugyanis megtehetjük azt, hogy elkezdünk egy olyan részt keresni a pi számjegyeiben, ahol egymás után 100 darab nulla áll, és ha ez a sorozat páros pozícióban (mondjuk a 94. helyen) kezdődik, akkor a 95. helyre írjunk egy 1-est, és ezzel zárjuk is le a sorozatunkat. Az így kapott szám (amely nagyobb, mint a pi) a pi^. Ha a 100 darab nulla kezdete páratlan helyre esik, akkor ne adjunk hozzá semmi,t hanem álljunk meg – ez esetben a pi^kisebb lesz, mint a pi. A kérdés persze az lesz, hogy mekkora a pi^-pi (amelyet Q-val szokás jelölni): ez egy pozitív szám; negatív vagy éppen 0 (amennyiben nincs olyan hely, ahol a pi-n belül egymás után 100 nulla követné egymást).
Brouwer felfogása szerint – írja Reuben Hersh A matematika természete című könyvben – „a három közül egyik sem igaz! Q vagy pozitív, vagy negatív, vagy zérus lesz, mihelyt valaki meghatározza, hogy melyik eset áll fenn”, addig azonban sem ez, sem az.
És itt vissza is kanyarodhatunk Millhez, ugyanis ha a 7+3=10-et a tapasztalat igazolja, akkor a matematikára is ugyanazok a szabályszerűségek érvényesek, mint a tapasztalati tudományokra. Ott viszont – miként ez Hume óta tudott – mindig fennáll valamennyi bizonytalanság, hiszen véges számú megfigyelés révén nem juthatunk bizonyossághoz. A klasszikus példa szerint akármennyi hattyút figyelünk is meg, soha nem lehetünk benne biztosak, hogy a „minden hattyú fehér” szabály tényleg igaz, hiszen az elvi lehetősége mindig fennáll, hogy felbukkanjon egy fekete. Amivel nem azt akarom mondani, hogy kételkedjünk abban, hogy hét meg három tényleg tíz lesz, hanem csupán azt, hogy vegyük észre, hogy ha elkezdjük a matematikát a természettudományokhoz hasonlóan kezelni, az felettébb érdekes következményekkel jár.
Természetesen vannak kérdések, amelyekre pontosan és megbízhatóan tudunk válaszolni (ilyen pl. a 7+3 összege is). Ebben az esetben a józan ésszel ellenkezne arra számítani, hogy meglepetés fog minket érni (az pedig más kérdés, hogy ez a „józan ész” a minket körülvevő szilárd dolgokon alapul. Ha kavicsok helyett mondjuk homokkupacokat használtunk volna a számoláshoz, az egészen más számkoncepcióhoz vezethetett volna).
És hogy mi a helyzet „az eukleidészi síkgeometriában a háromszög szögeinek összege 180 fok” típusú kijelentésekkel? Amelyekre ez igaz lenne, platóni ideális háromszögek lennének – márpedig ez csupán absztrakció: ilyen háromszögek nem léteznek. De attól jó közelítéssel elfogadhatjuk a 180 fokot. Ami persze nincs összhangban a jelenlegi matematikai felfogással, ahol abból szokás kiindulni, hogy a pi akkor is létezik, ha soha nem leszünk képesek megadni a pontos értékét.
Hogy tovább bonyolítsam a dolgot, ott vannak aztán a Q-hoz hasonló matematikai objektumok, melyekről nem tudjuk megmondani, hogy léteznek-e. És persze elképzelhetőek például olyan nagy számok is, melyekkel egyszerűen nem tudunk mit kezdeni, mert ha számjegyeik mondjuk homokszemek lennének, akkor szorosan kitöltenék az egész ismert Univerzumot –mi pedig talán sosem fogunk akkora számítási kapacitással rendelkezni, amely lehetővé tenné, hogy egy ilyenről eldöntsük, hogy prímszám-e, ha 7-re végződik. De ha egyszer a távoli jövőben mégis rendelkeznénk, akkor is könnyen kitalálhatnánk olyan nagy számokat, amelyeket nem tudunk kezelni. Ez nem pontosan ugyanaz, mint a Q, ahol lehet, hogy azért nem kapunk soha választ a kérdésünkre, mert a pi számjegyeit vizsgálva soha nem fogunk olyan helyet találni, ahol 100 darab nulla követi egymást (de attól még elképzelhető az is, hogy van egy ilyen rész valahol meg az is, hogy nincs). Itt a kérdés elvileg ugyan biztosan eldönthető (elvégre elvileg meg tudjuk állapítani az adott számról, hogy csak eggyel és önmagával osztható-e), gyakorlatilag viszont nem, és innentől kezdve egy „természettudományos matematika” nem is fog foglalkozni ezzel. Elvégre a jelenlegi szerint a tudomány kizárólag olyan kérdéseket tehet fel, melyek kísérleti úton ellenőrizhetőek és megcáfolhatóak. A többi a filozófiára, vallásra stb. tartozik. Gyakorlati szempontból (bármit jelentsen is ez) például teljesen mindegy, hogy létezik-e páratlan tökéletes szám, miután 10^300-ig egyet sem találtunk.: nem valamiféle fontos kérdés, hanem legfeljebb egy lábjegyzetre méltó érdekesség (elvégre nem szigorú bizonyításokat, hanem használható eredményeket akarunk). Ami egyfelől azt is jelenti, hogy bár a matematikától hagyományosan elvárt teljes bizonyosság nélkül, de számos olyan eredmény elérhetővé válik a számunkra, amely korábban nem.
Másfelől ennek persze ára van. Innentől kezdve például a megszámlálható és megszámlálhatatlan végtelenek kérdése is (ld. Cantor) kívül fog esni a „természettudományos matematika” illetékességén. Amivel nem azt akarom mondani, hogy dobjunk ki mindent, amihez nem juthatunk el véges sok lépésben (mint ahogy Brouwer egyébként ezt tartotta volna üdvözítő megoldásnak), hanem azt, hogy innentől kezdve érdekes lenne a mostani matematikát két részre osztani: a „természettudományosra” meg a „filozófiai matematikára” (nevezzük talán így), ahová Cantor is tartozna. Elvégre két különböző dologról van szó.