A bizonyítástól az új kísérleti matematikáig

Timothy Gowers angol matematikus szerint a filozófusok elvitatkozgathatnak azon, hogy léteznek-e a számok vagy sem, de egy matematikus ezek létét vagy magától értetődőnek tekinti, vagy pedig nem is érti a problémát. Majd pedig azt is hozzáteszi, hogy a matematikai „módszer mottója az lehetne, hogy egy objektum azonos azzal, ahogyan viselkedik”, és ennek megfelelően „nem maguk a számok fontosak, hanem a rájuk vonatkozó szabályok”.
Viszont ha nem tekintjük is relevánsnak, hogy mi a szám, az, hogy mi a matematika, egészen biztosan számít – elvégre, bármilyen tautologikusan is hangozzék, ez határozza meg azt, hogy mit tekintünk matematikának. És ez nem csupán változhat, de jó néhányszor változott is a történelem folyamán.
A görögök kezdték a számok mellett a geometriai alakzatok tudományának tekinteni; Leibniz és Newton hatására a mozgás, a változás és a tér is bekerült a matematikával foglalkozók repertoárjába; míg a 19. század végén a fentebbiek „vizsgálatában alkalmazott matematikai arzenál is”, hogy mára lényegében a „mintázatok tudományává” váljon (legyenek bár azok a mintázatok a számelmélet vagy éppen a topológiai mintázatai), írja Keith Devlin amerikai matematikus. Eközben szerinte a matematika mindvégig megőrző jellegű maradt, vagyis azok a problémák, melyek az ókorban ide tartoztak, ide tartoznak a 21. században is.
Tehát adódik a kérdés, hogy egyfelől
a matematika kiterjesztése a jövőben is folytatódni fog-e, vagy pedig elértük a kiterjesztés lehetséges határait? Másfelől pedig, hogy eközben
a matematika továbbra is megőrző jellegű marad, vagy pedig egyes területei a jövőben kimaradnak belőle?
És ami azt illeti, a válasz korántsem olyan egyszerű, mint szeretnénk.
Amikor Luigi Serafini olasz művész az 1970-es évek végén elkészítette minden idők egyik legkülönösebb művészi alkotását, a képzeletbeli világot bemutató Codex Seraphinianust, akkor ehhez külön írásrendszert alkotott, a képek pedig egy teljesen a miénktől eltérő logikájú univerzumot mutatnak be. Ám maga a könyv olyan fejezetekre volt osztva, mint a flóra; a fauna; a kétlábúak stb. Értsd: többé-kevésbé szorosan követte a jelenleg a Földön használatos taxonómiát.
Viszont miért is ne választhatna valamilyen más kategorizálást? Borges említ egy képzeletbeli enciklopédiát, amely az állatokat úgy kategorizálja, hogy „a, a Császár birtokát képezők; b, a bebalzsamozottak; c, a megszelídítettek; d, szopós malacok; e, szirének; f, mesebeliek; g, a szabadban futkározó kutyák; h, az ezen osztályozásban foglalt állatok; i, amelyek rohangálnak, mintha csak megvesztek volna; j, a megszámlálhatatlanok; k, amelyeket roppant finom teveszőr ecsettel festettek; l, stb.; m, amelyek az imént törték el a korsót; n, amelyek távolról legyeknek látszanak.”
Ami minden bizonnyal jól érzékelteti (még ha ironikusnak tekinthető is), hogy többféle kategorizálás lehetséges. Márpedig ez egyáltalán nem mindegy: amikor a 19. században a korábban különálló diszciplínákként létező természethistóriát, botanikát stb. egységesen biológiakánt kezdték kezelni, akkor az egész felfogás is megváltozott. Ennek megfelelően érdemes lenne kipróbálni, hogy miként, a mostanitól eltérő módon tudnánk még a matematikát keretrendszerbe foglalni? Ekkor talán rábukkanhatnánk olyan, új értelmezésekre/megközelítési módokra/területekre, amelyek így egyszerűen nem látszanak a számunkra – mint ahogy a nem eukleidészi geometriák sem látszottak a 19. század közepéig. Ugyanis ahhoz, hogy értelmezni tudjuk őket, el kellett jutni arra felismerésre, hogy nem csak „a” geometria” létezik, hanem ennek vannak különböző változatai is. Innentől kezdve viszont neki lehetett állni ezeket tanulmányozni.
Tehát a megközelítés sem mindegy. Különösen, hogy Devlin minden bizonnyal egy 20. század végi szemléletet vetít vissza a múltba, hiszen a matematika (bármit jelentsen is ez a fogalom) a septem artes liberales részeként egészen biztosan nem úgy értelmezték, mint a ma. Ugyanis például olyan értelemben tekintették eszköznek a misztikus valóság megragadására még Kepler idején is, ami számunkra elfogadhatatlan lenne (hacsak nem vagyunk numerológusok).
És hasonló a helyzet a bizonyítás ma központinak tekintett szerepével is: amikor ismét csak Kepler azt gondolta, hogy a Világmindenség harmóniáit a matematikai szabályok írják le, akkor (mivel valójában mást értett a matematika alatt, mint mi, ezért) eszébe sem jutott, hogy ezt bizonyítani kellene.
Ezen a ponton nem a bizonyításnak a mai matematikában játszott alapvető szerepét akarom kétségbe vonni; és az sem kétséges, hogy hasznos eszközről van szó – viszont a fentebbiek szerint elképzelhetőek más, alkalmasint a „bizonyítás matematikája” mellett létező megoldások is. A bizonyításokon alapuló matematika ugyanis – hogy ismét egy tautológiával álljak elő – azon problémák esetében működnek jól, melyek a bizonyításokon keresztül ragadhatóak meg. A prímek például tipikusan ellenállni látszanak az ilyen típusú problémamegoldásnak, és a bizonyításkeresés különben is minden bizonnyal behuzalozza, hogy milyen kérdések tűnnek érdekesnek vagy fontosnak a matematikán belül.
Mostanra viszont elképzelhetőek más megoldások is, ahol tárgyalhatóak olyan kérdések is, melyeknek eddig nem sok értelme volt.
Az úgynevezett kísérleti – vagy ha úgy jobban tetszik – számítógép-támogatott matematikát a Riemann-féle zéta funkció vizsgálatától a pi értékét megadó új képletek kereséséig sok dologra használják. Ami viszont bizonyos szempontból kissé olyan, mintha a számítógépet egyszerűen fejlettebb írógépként kezelnénk.
A Science 2020 Group néhány évvel ezelőtt arra számított, hogy a számítástechnika ugyanúgy be fog olvadni a tudományosság alapjaiba, mint ahogy a matematika tette a 17. században, aminek az volt a következménye, hogy a korábbi, arisztotelészi, a tárgyakat mozgató „vágyakon” alapuló „fizikát” felváltotta az új, ma is elfogadott természettudományos megközelítés. Vagyis alapvető változás volt a végeredmény, és kíváncsi lennék, hogy most is így lesz-e.
Mint ahogy arra is, hogy ez (miként feltételezem) tényleg vissza fog-e hatni magára a matematika természetére.
Jelenleg ott van egyfelől a hagyományos bizonyítás, amely kizárólag a matematika eszközeit használva eldönti, hogy egy tétel igaz-e vagy sem. Másfelől ezt egészíti ki a „bizonyítás kimerítés által”, amikor – miként a négyszín sejtés számítógépes bizonyításánál vagy Keplernek a teret gömbökkel való kitöltésére vonatkozó problémájánál történt – végigpróbálgatják az összes lehetséges megoldást, és ezáltal jutnak eredményre.
A harmadik megoldás pedig az lehet, hogy (a fentebbi módszerek megtartása mellett) a matematikán belül kialakul egy olyan terület is, és itt ugyanúgy nem lesz elvárás a teljes bizonyosság, mint ahogy a természettudományokban sem, ahol nem működik a véges sok példán alapuló teljes indukció. Ennek köszönhetően viszont olyan matematikai kérdések is tárgyalhatóak lesznek – még ha a teljes bizonyosság nélkül is –, amelyek jelenleg nem. Azaz mint ahogy korábban a természettudományokat próbálták a matematika képére formálni, most a matematika kezdene majd hasonlítani a természettudományokhoz.
És, ki tudja, talán egyszer majd ide fog esni a matematikai kutatások súlypontja is.

Ami az anomáliák tudománya után következik

A kvantumelmélet annak idején, az 1920-as években olyannyira érthetetlennek tűnt, hogy „Bohr úgy vélte, ez azt jelenti, hogy vannak bizonyos dolgok, amelyekre a tudomány nem képes választ találni. Einstein számára pedig azt jelentette, hogy valami nem stimmel az elmélettel” - írja Michael Brooks a 13 rejtély című könyvben. Számunkra viszont jelentheti akár azt is, hogy hamarosan talán egy teljesen új korszak fog kezdődni a világ megismerésében. Hacsak el nem kezdődött máris.

Nagyjából az 1600-as évekig ugyanis nem volt modern értelemben vett természettudomány. Amikor viszont létrejött, akkor gyorsan elvezetett egy új, matematizált eszközrendszer létrejöttéhez is, amelyet lényegében „gondolatfokozásra” használtunk. Nem tudjuk ugyan enélkül kiszámítani, hogy a newtoni mechanika szerint miként mozognak a bolygók, de megfelelő képletek segítségével igen, és eközben legalább azt képesek vagyunk megérteni, hogy mire vonatkoznak a számítások. Vagyis kissé leegyszerűsítve: értjük a számítási szabályokat, és az eredményeket is össze tudjuk hasonlítani a megfigyelésekkel, tehát meg tudunk róla győződni, hogy helyesek-e. Ám eközben a megértésre valójában nincs is feltétlenül szükség: Kepler például anélkül is meg tudta fogalmazni a Kepler-törvényeket, hogy értette volna a mögöttük meghúzódó összefüggéseket.
Innentől kezdve három út képzelhető el. A hagyományos „megértem, és leírom” típusú megoldásoknak nyilvánvalóan korlátokat szab az, hogy Wigner Jenő megfogalmazásával élve „egy kutya sok mindent megtanulhat, de a szorzótáblát lehetetlen neki megtanítani”. Értsd: az emberi megértésnek is ugyanígy megvannak a korlátai, és ha esetleg most még nem is, előbb-utóbb azért biztosan el fogjuk érni ezt. És próbálkozhatunk ugyan a Kepler-féle megoldással is (vagyis azzal, hogy megértés nélkül tárjuk fel a szabályokat), ám ahogy a dolgok bonyolultabbá válnak, valószínűleg egyre kevésbé tudjuk majd, hogy egyáltalán mit kellene megfigyelni, mérni stb. Edison próba-szerencse alapon (úgy, hogy egyszerűen minden, a keze ügyébe akadó anyagot végigpróbált) meg tudta alkotni a szénszálas izzólámpát, de valamiféle atommotort – amivel szintén megpróbálkozott – már nem.
Úgyhogy – szerintem – marad a harmadik megoldás. Vagyis az, hogy az emberi megértést mással helyettesítjük: például a gépivel, és innentől kezdve majd ugyanúgy egyszerűen kérdéseket teszünk fel ennek a „gépi megértésnek” (anélkül, hogy átlátnánk a válasz mögötti logikát), mint amikor két nagy számot szorzunk össze számítógéppel, és fogalmunk sincs arról, hogy a válasz konkrétan milyen folyamatokon keresztül jön létre. Semmi okunk sincs azt képzelni, hogy az emberi megértés egyben a megértés végső határait is jelenti, és lehetetlen lenne meghaladni. Egy következő lépésben pedig talán majd eljutunk arra szintre is, ahol már a kérdések feltétele is meghaladja a képességeinket, és akkor majd azt is másokra bízzuk. Akár valamiféle mesterséges intelligenciára, akár biológiailag módosított emberekre (értelmes lényekre).
Brooks úgy fogalmaz, hogy a többi fizikai anomáliával együtt „a sötét energia [is] valójában nem óriási gond, hanem a fizika előtt álló legnagyobb lehetőség arra, hogy megvizsgáljuk [a modern tudományt megalapozó] leegyszerűsítéseket, és kijavítsuk őket, és ezáltal a tudást új szintre emeljük”. De elképzelhető egy olyan olvasat is, hogy már elértük az agyunk által nyújtott lehetőségek határait. Ez nem azt jelenti, hogy „vége van”, hanem csupán annyit, hogy a jövőben talán nem mi fogjuk csinálni a tudományt.  Ami talán nem igazán hangzik jól – egészen addig, amíg úgy nem kezdünk gondolni a dologra, mint egy beláthatatlan és a szó szoros értelmében felfoghatatlan fejlődés kezdetére.
És én személy szerint nagyon remélem, hogy tényleg ez a helyzet.