Természettudományos vs filozófiai matematika

Kialakulásakor a (modern) természettudományokat a matematika analógiájára képzelték el (sőt, Spinoza például még az etikát is tételekre és bizonyításokra próbálta visszavezetni). De mi lenne, ha fordítanánk egyet a dolgon, és most a matematikát próbálnánk a modern természettudományok mintájára elképzelni?
A matematika eddigi története jó közelítésben három fázisra osztható.

• Az elsőben a matematikai „tényeket” (mint amilyen az is, hogy a háromszög szögeinek összege 180 fok) abszolútnak és megkérdőjelezhetetlennek tekintették.
• A másodikban (a nem eukleidészi geometriák megjelenését követően) Dedekind és Weiterstrass a geometria helyett az aritmetikát választották a matematika alapjául. Ezzel párhuzamosan az „abszolút igazság” helyett az ellentmondás-mentesség vált elvárássá.
• És bár Gödel óta senki sem hiszi, hogy ez maradéktalanul megvalósítható lenne a matematikán belül, a szám (és ezen belül is a természetes szám) fogalma továbbra is kitüntetett maradt a matematika megalapozására tett kísérletekben.

Tehát nem ártana némi figyelmet szentelni annak a látszólag triviális (és látszólag legfeljebb a filozófusokat érdeklő) kérdésnek, hogy ha már aritmetikáról beszélünk, akkor miért igaz az, hogy 7+3=10.
Frege erre azt válaszolja, hogy „Akárki beláthatja, hogy 7+3=10. Efelől nem lehet kétség. Ez nyilvánvalóan valóságos a priori [eleve adott], most és mindörökké, biztosan és kétségbevonhatatlanul.”
Ami természetesen platonista megközelítés, és aki nem hiszi (mint ahogy én például nem), hogy a matematikai objektumok valamiképpen „létezőek”, és mi nem kitalálunk, hanem csupán felfedezünk (megtalálunk) összefüggéseket, annak ez nem lesz elfogadható érvelés. Ugyanis ha Frege azt állítja, hogy szerinte a priori, akkor ezzel ugyanilyen joggal azt szegezhetem szembe, hogy szerintem viszont nem. Értsd: valójában nem érvelést, hanem állítást hallottunk, amit aztán vagy elfogadunk, vagy nem.
Viszont John Stuart Mill azt mondja, hogy azért lehetünk benne biztosak, mert számtalanszor volt alkalmunk megfigyelni, hogy hét almához (körtéhez, bármihez) hozzáadva további hármat egy tíz elemből álló halmazt kapunk. Értsd: tapasztalati tény. És ezen a ponton tegyünk egy látszólagos kitérőt azzal kapcsolatban, hogy L. J. Brouwer intiucionista matematikus szerint nem igaz a kizárt harmadik elve, vagyis: nem igaz, hogy minden valós szám vagy pozitív, vagy negatív, vagy nulla.
Ugyanis megtehetjük azt, hogy elkezdünk egy olyan részt keresni a pi számjegyeiben, ahol egymás után 100 darab nulla áll, és ha ez a sorozat páros pozícióban (mondjuk a 94. helyen) kezdődik, akkor a 95. helyre írjunk egy 1-est, és ezzel zárjuk is le a sorozatunkat. Az így kapott szám (amely nagyobb, mint a pi) a pi^. Ha a 100 darab nulla kezdete páratlan helyre esik, akkor ne adjunk hozzá semmi,t hanem álljunk meg – ez esetben a pi^kisebb lesz, mint a pi. A kérdés persze az lesz, hogy mekkora a pi^-pi (amelyet Q-val szokás jelölni): ez egy pozitív szám; negatív vagy éppen 0 (amennyiben nincs olyan hely, ahol a pi-n belül egymás után 100 nulla követné egymást).
Brouwer felfogása szerint – írja Reuben Hersh A matematika természete című könyvben – „a három közül egyik sem igaz! Q vagy pozitív, vagy negatív, vagy zérus lesz, mihelyt valaki meghatározza, hogy melyik eset áll fenn”, addig azonban sem ez, sem az.
És itt vissza is kanyarodhatunk Millhez, ugyanis ha a 7+3=10-et a tapasztalat igazolja, akkor a matematikára is ugyanazok a szabályszerűségek érvényesek, mint a tapasztalati tudományokra. Ott viszont – miként ez Hume óta tudott – mindig fennáll valamennyi bizonytalanság, hiszen véges számú megfigyelés révén nem juthatunk bizonyossághoz. A klasszikus példa szerint akármennyi hattyút figyelünk is meg, soha nem lehetünk benne biztosak, hogy a „minden hattyú fehér” szabály tényleg igaz, hiszen az elvi lehetősége mindig fennáll, hogy felbukkanjon egy fekete. Amivel nem azt akarom mondani, hogy kételkedjünk abban, hogy hét meg három tényleg tíz lesz, hanem csupán azt, hogy vegyük észre, hogy ha elkezdjük a matematikát a természettudományokhoz hasonlóan kezelni, az felettébb érdekes következményekkel jár.
Természetesen vannak kérdések, amelyekre pontosan és megbízhatóan tudunk válaszolni (ilyen pl. a 7+3 összege is). Ebben az esetben a józan ésszel ellenkezne arra számítani, hogy meglepetés fog minket érni (az pedig más kérdés, hogy ez a „józan ész” a minket körülvevő szilárd dolgokon alapul. Ha kavicsok helyett mondjuk homokkupacokat használtunk volna a számoláshoz, az egészen más számkoncepcióhoz vezethetett volna).
És hogy mi a helyzet „az eukleidészi síkgeometriában a háromszög szögeinek összege 180 fok” típusú kijelentésekkel? Amelyekre ez igaz lenne, platóni ideális háromszögek lennének – márpedig ez csupán absztrakció: ilyen háromszögek nem léteznek. De attól jó közelítéssel elfogadhatjuk a 180 fokot. Ami persze nincs összhangban a jelenlegi matematikai felfogással, ahol abból szokás kiindulni, hogy a pi akkor is létezik, ha soha nem leszünk képesek megadni a pontos értékét.
Hogy tovább bonyolítsam a dolgot, ott vannak aztán a Q-hoz hasonló matematikai objektumok, melyekről nem tudjuk megmondani, hogy léteznek-e. És persze elképzelhetőek például olyan nagy számok is, melyekkel egyszerűen nem tudunk mit kezdeni, mert ha számjegyeik mondjuk homokszemek lennének, akkor szorosan kitöltenék az egész ismert Univerzumot –mi pedig talán sosem fogunk akkora számítási kapacitással rendelkezni, amely lehetővé tenné, hogy egy ilyenről eldöntsük, hogy prímszám-e, ha 7-re végződik. De ha egyszer a távoli jövőben mégis rendelkeznénk, akkor is könnyen kitalálhatnánk olyan nagy számokat, amelyeket nem tudunk kezelni. Ez nem pontosan ugyanaz, mint a Q, ahol lehet, hogy azért nem kapunk soha választ a kérdésünkre, mert a pi számjegyeit vizsgálva soha nem fogunk olyan helyet találni, ahol 100 darab nulla követi egymást (de attól még elképzelhető az is, hogy van egy ilyen rész valahol meg az is, hogy nincs). Itt a kérdés elvileg ugyan biztosan eldönthető (elvégre elvileg meg tudjuk állapítani az adott számról, hogy csak eggyel és önmagával osztható-e), gyakorlatilag viszont nem, és innentől kezdve egy „természettudományos matematika” nem is fog foglalkozni ezzel. Elvégre a jelenlegi szerint a tudomány kizárólag olyan kérdéseket tehet fel, melyek kísérleti úton ellenőrizhetőek és megcáfolhatóak. A többi a filozófiára, vallásra stb. tartozik. Gyakorlati szempontból (bármit jelentsen is ez) például teljesen mindegy, hogy létezik-e páratlan tökéletes szám, miután 10^300-ig egyet sem találtunk.: nem valamiféle fontos kérdés, hanem legfeljebb egy lábjegyzetre méltó érdekesség (elvégre nem szigorú bizonyításokat, hanem használható eredményeket akarunk). Ami egyfelől azt is jelenti, hogy bár a matematikától hagyományosan elvárt teljes bizonyosság nélkül, de számos olyan eredmény elérhetővé válik a számunkra, amely korábban nem.
Másfelől ennek persze ára van. Innentől kezdve például a megszámlálható és megszámlálhatatlan végtelenek kérdése is (ld. Cantor) kívül fog esni a „természettudományos matematika” illetékességén. Amivel nem azt akarom mondani, hogy dobjunk ki mindent, amihez nem juthatunk el véges sok lépésben (mint ahogy Brouwer egyébként ezt tartotta volna üdvözítő megoldásnak), hanem azt, hogy innentől kezdve érdekes lenne a mostani matematikát két részre osztani: a „természettudományosra” meg a „filozófiai matematikára” (nevezzük talán így), ahová Cantor is tartozna. Elvégre két különböző dologról van szó.

Miért fontos a platonizmus?

Platón

A matematikafilozófia problémáit mintegy matematikán kívül állónak szokás tekinteni, elvégre – hangzik a szokásos érvelés – teljesen mindegy, hogy valaki azt gondolja-e, hogy a számok valamiképpen tényleg léteznek, vagy pedig azt, hogy önmagukban üres és jelentés nélküli szimbólumok. Elvégre így is, úgyis ugyanazokat a bizonyításokat fogjuk érvényesnek tartani. Csak éppen miként Stephan Körner a matematikafilozófiáról szóló tanulmányában megjegyzi, egyes filozófiai kérdések „matematikai problémák felvetéséhez és a matematika olyan új ágainak kialakulásához vezettek, mint a nem-euklideszi geometriák és a matematikai logika absztrakt algebrái”. Mivel a matematika adja meg azt az értelmezési keretrendszert, melyen keresztül magát a matematikát és céljait, módszereit stb. meghatározzuk, egyáltalán nem mindegy, hogy kezdetben milyen filozófiai felfogás volt a meghatározó.
Az például meglehetősen új keletű, a 19. század második felében, Boole-lal, Fregevel és Pierce-szel meg a halmazelmélettel együtt felbukkanó értelmezés, amely „közeli kapcsolatot” tételez fel a matematika és a logika között. Vagyis bár nekünk teljesen természetesnek tűnik a kettő összefonódása, a múltban egyáltalán nem mindig volt az, és igencsak kíváncsi lennék, hogy a jövőben mi lesz a helyzet – és esetleg olyan, egyelőre függetlennek tekintett diszciplínák lesznek-e a matematikára alapvető hatással, amelyekre egyelőre nem is gondolunk.
A logikával való románcnak mindenesetre az is a következménye volt, hogy korábban nem létező, új típusú matematikafilozófiai felfogás alakult ki. A 19. századig uralkodó platonizmus szerint a matematikus lényegében olyan, mint egy geológus, aki valamiképpen létező dolgokat tanulmányoz, és ennek megfelelően nem is kitalál, csak felfedez. Az alap az a platóni felfogás volt, mely szerint a valóságot és a látszatot meg kell különböztetnünk, és persze mindaz, amit látunk és érzékelünk, az utóbbi kategóriába tartozik (ld. Platón barlanghasonlatát). Viszont ez alapján azért következtetni tudunk a „valóságra”: a konkrét asztal csak mintegy az „asztal ideájának” a megjelenése, és ugyanígy sőt, még ígyebbül van a matematikával is. A matematikus ugyan sosem fog „igazi háromszöget” látni, de a konkrét geometriai alakzatokból következtethet a valóban létező, ideális háromszög tulajdonságaira – mint amilyen például az is, hogy a szögei összege 180 fok. Vagyis innentől kezdve a platonista matematika-felfogás arra fókuszál, hogy milyen módon léteznek a matematikai objektumok, és „az aritmetika meg a geometria állításai szükségképpen igazak, mivel változatlan objektumok közötti változatlan viszonyokat írnak le” (hogy ismét csak Körnert idézzem).
A logikai alapú megközelítések viszont, elutasítva a platóni tanítást, nem indulhattak ki a szükségképpen létező matematikai igazságból, tehát az ellentmondás-mentességet választották kritériumul. Valószínűleg nem véletlen, hogy éppen a platonista Gödel bizonyította be ennek a lehetetlenségét az aritmetikára nézve, amennyiben teljes indukciót használunk. Az pedig más kérdés, hogy Gerhard Gentzen később bebizonyította, hogy amennyiben a megszámlálható számosságúaknál nagyobb, végtelen számosságokra épülő, ún. transzfinit indukciót használjuk, amelynek így a „hagyományos” matematikai indukció csupán egy alesete, akkor „ez a módszer lehetővé teszi az aritmetika minden igazságának dedukálását”, mondja J. D. Barrow (a Pi in the Sky című könyvében). Viszont „nem teszi lehetővé a teljes matematika minden igazságának dedukálását, mivel ez utóbbi olyan igazságokat tartalmaz a végtelenekről, melyek igazsága vagy hamissága nem mutatható ki a rendszer logikai masinériáját használva”. A Gödel-problémákra egy későbbi bejegyzésben még visszatérek, tehát egyelőre legyen annyi elég, hogy a logikai alapú felfogások, miközben feladták az igazságot mint kritériumot, nem voltak képesek az ellentmondás-mentességet sem elérni. Viszont eközben már nem a matematikai objektumok létére vagy nem létével foglalkoztak, hanem azzal, hogy milyen tulajdonságokkal kell a matematikai rendszereknek rendelkezniük, és eközben persze végtelenül sok matematika lehetséges. Ugyanis nem kritérium, hogy bármilyen formában az igazságra, vagy ha úgy jobban tetszik, akkor a valóságra vonatkozzon, és ezért is beszél Stanislaw Lem a matematika analógiájaként arról az őrült szabóról, aki minden létező és nem létező teremtmény számára ruhát varr – aztán majd hátha lesz valaki, aki fel is tudja venni.
És ez bizony elég nagy váltás az „igazságon alapuló” korábbi felfogáshoz képest.
Viszont bár a platonizmus mostanra nem látszik védhetőnek, elvégre miért is tételeznénk fel, hogy a tapasztalhatón túl ott vannak holmi formák vagy ideák, azt, hogy milyen elvárásaink vannak vele szemben, és általában véve is milyen természetűnek tekintjük a matematikát, még mindig a platonizmus határozza meg. Még mindig az a bevett felfogás ugyanis, hogy a kiindulási pont az ideális alakzatokkal és formákkal foglalkozó „tiszta” matematika, és aztán ennek – vagy legalábbis egyes részeinek – a minket körülvevő valóságra való alkalmazásával juthatunk el az alkalmazott matematikához. A valóság azonban – nem különösebben meglepő módon – nagyon is más, mint amit a matematikakönyvek leírnak és megengednek, és aki kételkedne ebben, az próbáljon mondjuk egy A4-es papírlapot hétnél többször összehajtogatni. Értsd: ha a görög matematika kezdeteinél nem a paltonista felfogás bábáskodott volna, akkor talán senki sem találná érdekesnek a pi tizedes jegyeit újabb és újabb billiókig való kiszámolását, miközben egy 39 tizedes jegy birtokában a hidrogénatom sugaránál kisebb hibával határozhatjuk meg a világmindenség kerületét.
Azaz: történeti okai vannak, hogy a matematika egy szélsőségesen absztrakt irányba indult le (és erre a szélsőségesen absztrakt matematikára épült aztán rá az egész modern természettudomány is), és kíváncsi lennék, hogy hová és meddig jutottunk volna, ha annak idején más kiindulási pontot választunk.

A metamatematikán innen és túl

A metamatematika – olvasható a Wolfram-féle MathWorldben – tulajdonképpen „egy másik kifejezés a bizonyításelméletre”, és ide tartozik például a Gödel tétel is. Kissé általánosabban fogalmazva pedig valami olyasmit mondhatunk, hogy a metamatematika magát a matematikát tanulmányozza matematikai módszerekkel.  Vagyis „azt …, hogy mit képes és mit nem képes elérni a matematika”, mondja Gregory J. Chaitin.
Az az „ötlet” pedig, hogy szükség lenne valami ilyesmire, a német matematikus, David Hilbert 20. század eleji programjára vezethető vissza, ahol az lett volna a végső cél, hogy a bizonyítás gép által is elvégezhető, formalizált módszerét dolgozzák ki. Amit az ún. „alapok válsága” tett indokolttá, vagyis az, hogy az 1800-as évek második felében kiderült, hogy korántsem olyan egyszerűek (ld. a nem-eukleidészi geometriákat) vagy ellentmondásmentesek (ld. a Russell-paradoxont) a dolgok a matematikán belül, mint szeretnénk, és az egyik lehetséges megoldásnak az tűnt, ha matematikai (logikai) módszereket alkalmazva megvizsgáljuk, hogy miként lehet egy ellentmondásmentes és jól működő matematikát felépíteni.
A kérdésnek természetesen volt egy matematikafilozófiai vetülete is, Hilbert ugyanis a platóni matematikafelfogással ellentétben (mely szerint a számok valamiképpen léteznek, még ha nem is ugyanúgy, mint egy hétköznapi tárgy) úgy gondolta, hogy a matematika önmagukban üres és jelentés nélküli szimbólumokkal foglalkozik, és így nem is vonatkozik a valóságra, hanem önmagában üres és értelem nélküli „játék”.
Ami már csak azért is érdekes a számunkra, mert innentől kezdve a kérdés több rétegre bontható.
Az egyik szint a matematikafilozófiáé: a formalista és a platonista matematikusok nem értenek egyet „a létezés és realitás” kérdésében (hogy a Davis – Hersh szerzőpáros megfogalmazását vegyem kölcsön).  Egy másik szint magának a matematikának a gyakorlatban való műveléséé: itt viszont a platonisták és formalisták „nem vitatkoznak egymással azon, hogy… az érvelésnek milyen elemei engedhetőek meg” (mondja ismét csak Davis és Hersh).  Tehát úgy tűnhet, mintha a gyakorlat szempontjából teljesen mindegy lenne, hogy melyik állásponttal értünk egyet, és hogy platonistának vagy formalistának tekintjük-e magunkat, mert a tétel, az axióma, a bizonyítás stb. alatt mindkét esetben ugyanazt értjük.
Valójában azonban egy platonista matematikusnak valószínűleg nem jutott volna eszébe a Hilbert-program, és a következő lépésben annak hangoztatásával, hogy a számításokat (és bizonyításokat) mechanizálni kell, valószínűleg nem jutott volna el a modern számítógéphez sem. Mechanikus számológépeket persze már Leibniz és Pascal óta építgettek, de ezek még a 19. század végén – 20. század elején is leginkább nem digitálisak, hanem analógok voltak, még ha utólag hajlamosak vagyunk is a számítástechnika történetének megírásakor a digitálisokra fókuszálni.
Viszont a Hilbert-féle megközelítés nélkül legalábbis valószínűtlen, hogy eljutottunk volna a modern számítástudományhoz.  És persze Hilbert programja vezetett el „egy teljesen új matematikai területhez, a metamatematikához” is, állapítja meg Chaitin.
Amivel azonban még nincs vége a történetnek, ugyanis amikor akár Gödel, akár Chaitin, akár pedig bárki más metamatematikával foglalkozik, akkor adottnak vesz bizonyos dolgokat. Például: az axiomatikus módszert, a szimbolikus logikán alapuló megközelítést és hasonlókat, ám azok a matematikai alapok, melyek alapján jelenleg magát a matematikát tanulmányozzuk, nem valamiféle örökkévaló és megingathatatlan igazságok, hanem a 19. század második – a 20. század első felére jellemző felfogások és megközelítési módok eredményei. Ha pedig ez így van (márpedig ez a helyzet), akkor bátran rákérdezhetünk ezekre is, és megvizsgálhatjuk, hogy a jelenlegi megoldások mellett milyen alternatívák képzelhetőek el.