Miért (ne) szeressük a platonizmust?

Még a földönkívüliekkel való kapcsolatfelvételre tett kísérletek is a matematikai platonizmus megnyilvánulásai, amikor számokat – számsorokat küldünk vagy remélünk fogni üzenetként, mondja John D. Barrow Pi in the Sky című könyvében. Kérdés viszont, hogy ez a hozzáállás mennyire szükségszerű.
Értsd: milyen hatása volt és van ennek a felfogásnak a tudományra? Alfred Norton Whitehead egyenesen azt írja, hogy az egész nyugati filozófia története lábjegyzet csupán Platónhoz.
Maga az a feltételezés, mely szerint a matematikai objektumok valamiképpen létezőnek tekinthetőek, abból a szempontból nem is meglepő, hogy a számfogalom kialakulása valamiféle három alma – három körte általánosításából jött létre annak felismerésével, hogy mindkét dologban (a három almában és a három körtében) van valami közös, és ez a „hármasság”.
Vagyis a szám – értelemszerűen – absztrakció, és ehhez jött hozzá az a Püthagorasz-féle elképzelés, hogy egyben mindennek a lényege is; illetve, hogy mivel ez a legfontosabb, ezért léteznie kell. Innentől kezdve pedig az sem tűnt különösebben merész feltételezésnek, hogy a valóság (például a matematika esetében) nem csupán valamiféle silányabb visszatükröződése az igazinak, hanem éppen fordítva. Ami olyan hatásos gondolat volt, hogy Szent Ágoston például bizonyos értelemben még Istennél is „nagyobbnak” tekintette a matematikát, amikor azt fejtegette, hogy a 6-os szám nem azért kitüntetett, mert Ő hat nap alatt teremtette a világot, hanem azért teremtette hat nap alatt, „mert ez a szám tökéletes, és akkor is tökéletes maradna, ha a hat napos teremtésre nem került volna sor”. Vagyis Augustinus nem azt a megoldást választotta, ahol Isten elhatározásának köszönhetően tökéletes szám a 6-os.
Közbevetőleg: ma amikor arról beszélünk, hogy a Világmindenség nem számítógép-e, akkor ugyanígy arra kérdezünk rá, hogy a valóságot a matematika alapozza-e meg (és ez biztos tetszett volna Püthagorasznak); és eközben az a kérdés is felmerül, hogy ha „teremtünk” egy komputációs világmindenséget, akkor menyire szólhatunk bele a felépítésébe. Azt nyilvánvalóan megtehetjük, hogy a fénysebességre más értéket adunk meg; de vajon azt is megtehetjük-e, hogy olyan teret alkotunk, ahol a síkot (ellentétben a miénkkel) szabályos ötszögekkel tökéletesen le lehet fedni? Amire a platonista matematikus minden bizonnyal azt válaszolná, hogy nem.
Márpedig még Gödel is az ún. episztemológiai platonizmus híve volt azt állítva, hogy ugyanúgy érzékelni tudjuk a matematika valóságát, mint a minket körülvevő fizikai világét…
Pedig a platóni ideák koncepciója legalább két szempontból: egy speciális és egy általános okból is védhetetlen. Ami az előbbit illeti, itt az a gond, hogy feltételezhetjük ugyan, hogy bármely kör, amelyet jól – rosszul megrajzolunk, csupán egy ideális kör tökéletlen utánzata – de vajon miért ne tételezhetnénk fel, hogy a tökéletlen körnek megvan a maga, tökéletlen kört formáló ideája, míg a tökéletes kör mögött egy másik idea található? Vagy éppen az 1 cm sugarú körnek nem lehetne-e ugyanúgy külön ideája, mint a 2 centiméter sugarúnak, ahelyett, hogy mindkettőt az általában vett kör ideájára vezetnénk vissza? Ha nem mondjuk meg, hogy mi alapján általánosítunk, akkor bármiről kijelenthetjük, hogy annak „külön ideája” van.
És hasonlóképpen: Poincaré említi, hogy a platonista Charles Hermite francia matematikus „azzal vádolta Cantort, hogy objektumokat kreál ahelyett, hogy egyszerűen felfedezné őket”. Hermite számára az volt a probléma, hogy ha a matematikai ideák léteznek (miként ő is hitte), akkor a matematikus nyilván nem ki-, hanem csak megtalálja őket.
Viszont ha jobban belegondolunk, akkor ez vád tarthatatlannak fog bizonyulni, hiszen hogyan is jelenthetné ki Hermite biztosan, hogy mindazok a dolgok (és végtelenek), melyekre Cantor rábukkant, nem léteznek az eukleidészi objektumokhoz hasonlóan az ideák világában?
Vagyis semmire nem megyünk a platonista koncepcióval. A kognitív tudománnyal foglalkozó Aaron Sloman egyenesen úgy fogalmaz, hogy a platonista matematikai objektumokról folytatott vita értelmetlen, ugyanis, „miként számos más filozófiai vita is, azon a hibás feltételezésen alapul, hogy hogy van egy pontosan definiált koncepciónk [ebben az esetben a ’matematikai objektumokról’], amely lehetővé teszi, hogy olyan kérdést fogalmazzunk meg, amelyre van definitív válasz”. Azaz a matematikai platonisták ez esetben egy általános filozófiai hibát követnek el.
Pedig elképzelhető lett volna más megoldás is. Plutarkhosz említi, hogy Eudoxosz és Arkhitasz, a „mechanika művészetének” megalkotói „elegáns bizonyítást adtak a mechanika segítségével [olyan] geometriai igazságokra… melyek túl komplikáltak lettek volna a szavak vagy diagramok számára” ahhoz, hogy bebizonyítsuk. Mivel azonban Platón nem fogadta el ezt a megközelítést, „a mechanika elkülönült a geometriától, és mivel a filozófusok elutasították… a hadi művészetek része lett”.
Viszont ha nem így történt volna, akkor kérdés, hogy az eszünkbe jutna-e, hogy a matematikát mindenki számára és mindenütt egyformán igaz egyetemes nyelvnek tekintsük. Tehát egyfelől talán nem éreznénk úgy, hogy a segítségével van esélyünk felvenni a kapcsolatot egy esetleges idegen civilizációval. Másfelől viszont kérdéses az is, hogy eljutottunk volna-e a jelenlegi, átmatematizált természettudományokhoz anélkül is, hogy a platonista felfogást követve feltételeznénk, hogy a matematika alkalmas a valóság leírására. Nekem az az érzésem, hogy nem, de ez persze csak egy érzés, tehát lehet, hogy tévedek.
Abban azonban biztos vagyok, hogy legalább eltűnődni mindenképpen érdemes azon, hogyaz a matematikai természettudomány, amely idáig jól használhatónak bizonyult, vajon a jelenlegi és jövőbeni természettudományos problémák megoldására is ugyanolyan alkalmas lesz-e. És erre válaszolhatjuk azt, hogy miért is lenne: ezek mások, mint amikkel ötven vagy ötszáz évvel ezelőtt küszködtünk, és amelyek esetében bevált. Samir Okasha a tudományfilozófiáról írva úgy fogalmaz, hogy „ellentétben azzal [a maggyőződéssel], hogy a tudósnak nagyszámú olyan alternatív megoldásból kell választania a megfigyelési adatai értelmezésekor, gyakran az okoz gondot, hogy legalább egy elméletet találjunk, amely adekvát módon illeszkedik az adatokhoz.” Azaz ismét csak oda jutunk, hogy ha nem fogadjuk el a platonizmust, akkor vajon miért lenne szükségszerű annak az elfogadása, hogy minden természettudományos kérdésre választ kaphatunk a révén?

Miért fontos a platonizmus?

Platón

A matematikafilozófia problémáit mintegy matematikán kívül állónak szokás tekinteni, elvégre – hangzik a szokásos érvelés – teljesen mindegy, hogy valaki azt gondolja-e, hogy a számok valamiképpen tényleg léteznek, vagy pedig azt, hogy önmagukban üres és jelentés nélküli szimbólumok. Elvégre így is, úgyis ugyanazokat a bizonyításokat fogjuk érvényesnek tartani. Csak éppen miként Stephan Körner a matematikafilozófiáról szóló tanulmányában megjegyzi, egyes filozófiai kérdések „matematikai problémák felvetéséhez és a matematika olyan új ágainak kialakulásához vezettek, mint a nem-euklideszi geometriák és a matematikai logika absztrakt algebrái”. Mivel a matematika adja meg azt az értelmezési keretrendszert, melyen keresztül magát a matematikát és céljait, módszereit stb. meghatározzuk, egyáltalán nem mindegy, hogy kezdetben milyen filozófiai felfogás volt a meghatározó.
Az például meglehetősen új keletű, a 19. század második felében, Boole-lal, Fregevel és Pierce-szel meg a halmazelmélettel együtt felbukkanó értelmezés, amely „közeli kapcsolatot” tételez fel a matematika és a logika között. Vagyis bár nekünk teljesen természetesnek tűnik a kettő összefonódása, a múltban egyáltalán nem mindig volt az, és igencsak kíváncsi lennék, hogy a jövőben mi lesz a helyzet – és esetleg olyan, egyelőre függetlennek tekintett diszciplínák lesznek-e a matematikára alapvető hatással, amelyekre egyelőre nem is gondolunk.
A logikával való románcnak mindenesetre az is a következménye volt, hogy korábban nem létező, új típusú matematikafilozófiai felfogás alakult ki. A 19. századig uralkodó platonizmus szerint a matematikus lényegében olyan, mint egy geológus, aki valamiképpen létező dolgokat tanulmányoz, és ennek megfelelően nem is kitalál, csak felfedez. Az alap az a platóni felfogás volt, mely szerint a valóságot és a látszatot meg kell különböztetnünk, és persze mindaz, amit látunk és érzékelünk, az utóbbi kategóriába tartozik (ld. Platón barlanghasonlatát). Viszont ez alapján azért következtetni tudunk a „valóságra”: a konkrét asztal csak mintegy az „asztal ideájának” a megjelenése, és ugyanígy sőt, még ígyebbül van a matematikával is. A matematikus ugyan sosem fog „igazi háromszöget” látni, de a konkrét geometriai alakzatokból következtethet a valóban létező, ideális háromszög tulajdonságaira – mint amilyen például az is, hogy a szögei összege 180 fok. Vagyis innentől kezdve a platonista matematika-felfogás arra fókuszál, hogy milyen módon léteznek a matematikai objektumok, és „az aritmetika meg a geometria állításai szükségképpen igazak, mivel változatlan objektumok közötti változatlan viszonyokat írnak le” (hogy ismét csak Körnert idézzem).
A logikai alapú megközelítések viszont, elutasítva a platóni tanítást, nem indulhattak ki a szükségképpen létező matematikai igazságból, tehát az ellentmondás-mentességet választották kritériumul. Valószínűleg nem véletlen, hogy éppen a platonista Gödel bizonyította be ennek a lehetetlenségét az aritmetikára nézve, amennyiben teljes indukciót használunk. Az pedig más kérdés, hogy Gerhard Gentzen később bebizonyította, hogy amennyiben a megszámlálható számosságúaknál nagyobb, végtelen számosságokra épülő, ún. transzfinit indukciót használjuk, amelynek így a „hagyományos” matematikai indukció csupán egy alesete, akkor „ez a módszer lehetővé teszi az aritmetika minden igazságának dedukálását”, mondja J. D. Barrow (a Pi in the Sky című könyvében). Viszont „nem teszi lehetővé a teljes matematika minden igazságának dedukálását, mivel ez utóbbi olyan igazságokat tartalmaz a végtelenekről, melyek igazsága vagy hamissága nem mutatható ki a rendszer logikai masinériáját használva”. A Gödel-problémákra egy későbbi bejegyzésben még visszatérek, tehát egyelőre legyen annyi elég, hogy a logikai alapú felfogások, miközben feladták az igazságot mint kritériumot, nem voltak képesek az ellentmondás-mentességet sem elérni. Viszont eközben már nem a matematikai objektumok létére vagy nem létével foglalkoztak, hanem azzal, hogy milyen tulajdonságokkal kell a matematikai rendszereknek rendelkezniük, és eközben persze végtelenül sok matematika lehetséges. Ugyanis nem kritérium, hogy bármilyen formában az igazságra, vagy ha úgy jobban tetszik, akkor a valóságra vonatkozzon, és ezért is beszél Stanislaw Lem a matematika analógiájaként arról az őrült szabóról, aki minden létező és nem létező teremtmény számára ruhát varr – aztán majd hátha lesz valaki, aki fel is tudja venni.
És ez bizony elég nagy váltás az „igazságon alapuló” korábbi felfogáshoz képest.
Viszont bár a platonizmus mostanra nem látszik védhetőnek, elvégre miért is tételeznénk fel, hogy a tapasztalhatón túl ott vannak holmi formák vagy ideák, azt, hogy milyen elvárásaink vannak vele szemben, és általában véve is milyen természetűnek tekintjük a matematikát, még mindig a platonizmus határozza meg. Még mindig az a bevett felfogás ugyanis, hogy a kiindulási pont az ideális alakzatokkal és formákkal foglalkozó „tiszta” matematika, és aztán ennek – vagy legalábbis egyes részeinek – a minket körülvevő valóságra való alkalmazásával juthatunk el az alkalmazott matematikához. A valóság azonban – nem különösebben meglepő módon – nagyon is más, mint amit a matematikakönyvek leírnak és megengednek, és aki kételkedne ebben, az próbáljon mondjuk egy A4-es papírlapot hétnél többször összehajtogatni. Értsd: ha a görög matematika kezdeteinél nem a paltonista felfogás bábáskodott volna, akkor talán senki sem találná érdekesnek a pi tizedes jegyeit újabb és újabb billiókig való kiszámolását, miközben egy 39 tizedes jegy birtokában a hidrogénatom sugaránál kisebb hibával határozhatjuk meg a világmindenség kerületét.
Azaz: történeti okai vannak, hogy a matematika egy szélsőségesen absztrakt irányba indult le (és erre a szélsőségesen absztrakt matematikára épült aztán rá az egész modern természettudomány is), és kíváncsi lennék, hogy hová és meddig jutottunk volna, ha annak idején más kiindulási pontot választunk.