A metamatematikán innen és túl

A metamatematika – olvasható a Wolfram-féle MathWorldben – tulajdonképpen „egy másik kifejezés a bizonyításelméletre”, és ide tartozik például a Gödel tétel is. Kissé általánosabban fogalmazva pedig valami olyasmit mondhatunk, hogy a metamatematika magát a matematikát tanulmányozza matematikai módszerekkel.  Vagyis „azt …, hogy mit képes és mit nem képes elérni a matematika”, mondja Gregory J. Chaitin.
Az az „ötlet” pedig, hogy szükség lenne valami ilyesmire, a német matematikus, David Hilbert 20. század eleji programjára vezethető vissza, ahol az lett volna a végső cél, hogy a bizonyítás gép által is elvégezhető, formalizált módszerét dolgozzák ki. Amit az ún. „alapok válsága” tett indokolttá, vagyis az, hogy az 1800-as évek második felében kiderült, hogy korántsem olyan egyszerűek (ld. a nem-eukleidészi geometriákat) vagy ellentmondásmentesek (ld. a Russell-paradoxont) a dolgok a matematikán belül, mint szeretnénk, és az egyik lehetséges megoldásnak az tűnt, ha matematikai (logikai) módszereket alkalmazva megvizsgáljuk, hogy miként lehet egy ellentmondásmentes és jól működő matematikát felépíteni.
A kérdésnek természetesen volt egy matematikafilozófiai vetülete is, Hilbert ugyanis a platóni matematikafelfogással ellentétben (mely szerint a számok valamiképpen léteznek, még ha nem is ugyanúgy, mint egy hétköznapi tárgy) úgy gondolta, hogy a matematika önmagukban üres és jelentés nélküli szimbólumokkal foglalkozik, és így nem is vonatkozik a valóságra, hanem önmagában üres és értelem nélküli „játék”.
Ami már csak azért is érdekes a számunkra, mert innentől kezdve a kérdés több rétegre bontható.
Az egyik szint a matematikafilozófiáé: a formalista és a platonista matematikusok nem értenek egyet „a létezés és realitás” kérdésében (hogy a Davis – Hersh szerzőpáros megfogalmazását vegyem kölcsön).  Egy másik szint magának a matematikának a gyakorlatban való műveléséé: itt viszont a platonisták és formalisták „nem vitatkoznak egymással azon, hogy… az érvelésnek milyen elemei engedhetőek meg” (mondja ismét csak Davis és Hersh).  Tehát úgy tűnhet, mintha a gyakorlat szempontjából teljesen mindegy lenne, hogy melyik állásponttal értünk egyet, és hogy platonistának vagy formalistának tekintjük-e magunkat, mert a tétel, az axióma, a bizonyítás stb. alatt mindkét esetben ugyanazt értjük.
Valójában azonban egy platonista matematikusnak valószínűleg nem jutott volna eszébe a Hilbert-program, és a következő lépésben annak hangoztatásával, hogy a számításokat (és bizonyításokat) mechanizálni kell, valószínűleg nem jutott volna el a modern számítógéphez sem. Mechanikus számológépeket persze már Leibniz és Pascal óta építgettek, de ezek még a 19. század végén – 20. század elején is leginkább nem digitálisak, hanem analógok voltak, még ha utólag hajlamosak vagyunk is a számítástechnika történetének megírásakor a digitálisokra fókuszálni.
Viszont a Hilbert-féle megközelítés nélkül legalábbis valószínűtlen, hogy eljutottunk volna a modern számítástudományhoz.  És persze Hilbert programja vezetett el „egy teljesen új matematikai területhez, a metamatematikához” is, állapítja meg Chaitin.
Amivel azonban még nincs vége a történetnek, ugyanis amikor akár Gödel, akár Chaitin, akár pedig bárki más metamatematikával foglalkozik, akkor adottnak vesz bizonyos dolgokat. Például: az axiomatikus módszert, a szimbolikus logikán alapuló megközelítést és hasonlókat, ám azok a matematikai alapok, melyek alapján jelenleg magát a matematikát tanulmányozzuk, nem valamiféle örökkévaló és megingathatatlan igazságok, hanem a 19. század második – a 20. század első felére jellemző felfogások és megközelítési módok eredményei. Ha pedig ez így van (márpedig ez a helyzet), akkor bátran rákérdezhetünk ezekre is, és megvizsgálhatjuk, hogy a jelenlegi megoldások mellett milyen alternatívák képzelhetőek el.

Eukleidész és az origami

1847-ben egy Oliver Bryne nevű angol matematikus, aki amúgy Őfelsége alkalmazottjaként a Falkland-szigetekért felelt, megjelenttette az új illusztrációkkal ellátott Eukleidész-féle Elemeket. Ez „az egész 19. század egyik legkülönösebb és legszebb műve volt”, amelyben pirossal, sárgával, kékkel és feketével színezték ki a szögeket, területeket, vonalakat (és helyettesítették a betűkkel történő jelölést). Az eredmény: „Eukleidész sokkal intuitívabb lett… esztétikailag [pedig] jóval megelőzte a saját korát. A rikító, tiszta színek, aszimmetrikus tördelés, absztrakt formák és az üresen hagyott térrészek [mintegy] előre vetítették számos 20. századi festő műveit”, illetve a Bauhaust és a De Sijlt, mondja Alex Bellos brit tudománynépszerűsítő író.

Viszont bár azon kevés angol könyv egyike volt, amelyet a Londoni Világkiállításon is bemutattak, a kinyomtatott példányok háromnegyed része raktáron maradt, és két évvel később a kiadó csődbe is ment, és az egész a számomra a leginkább az érdekes, mert a külső megjelenése mellett miért is ne gondolhatnánk újra az ógörög geometriát más szempontból is?
Különösen, hogy a Philip Davis – Reuben Hersh szerzőpáros megfogalmazásával élve „Eukleidész mítosza” azt a meggyőződést jelenti, mely szerint az Elemek „az egész világra vonatkozó világos és kétségbevonhatatlan igazságokat tartalmaznak”. Valójában azonban legalább három, különböző típusú kérdést érdemes feltenni: mennyire szükségszerűek az ebben használt
•    kézzelfogható eszközök, melyeket az eukleidészi geometria „előállítására” szolgálnak; mennyire kézenfekvőek és jól megalapozottak a
•    matematikai definíciói és fogalmai; végezetül pedig léteznek
•    magára a matematika mibenlétére vonatkozó megfontolások is (amely leginkább a matematika filozófiához tartozik).
Ami a fentebbiek közül az elsőt illeti, az „eukleidészi szerkesztés” kizárólag a körző és az egyélű vonalzó (bizonyos módokon történő) használatát engedi meg. Márpedig ez nagyon is komoly korlátozást jelent annak ellenére is, hogy hatékonynak bizonyult mint kiindulási pont. És olyan következményei is vannak, mint mondjuk a pi kitüntetett szerepe, hiszen mennyire más lenne az egész geometria, ha a körző helyett ad absurdum egy rögzített szöggel meg egy rugalmas zsinórral dolgoznánk?
Amihez persze azt is érdemes hozzá tenni, hogy a hagyományos alapoktól el lehetett jutni a nem eukleidészi geometriákhoz – egy papírhajtogatáson alapuló „origami-geometriából” azonban nem valószínű, hogy sikerülne utat találnunk a hagyományos geometriákhoz.
Ugyanekkor vannak olyan feladatok, melyeket kizárólag „eukleidészi eszközökkel” nem tudunk megoldani. Ilyen
•    a déloszi probléma (ahol egy kétszeres térfogatú, kocka alakú oltárt kellene elkészíteni);
•    a szögharmadolás;
•    a kör négyszögesítése és
•    a szabályos hétszög szerkesztése
is.
Ami persze nem jelenti azt, hogy egyes, a „körzős-vonalzós” geometrián belül megoldhatatlan problémákra nincs válasz máshol. Margherita P. Beloch olasz matematikus még 1936-ban bebizonyította, hogy az „origami-geometria” segítségével elő tudunk állítani olyan kockát, amelynek a térfogata a kétszerese az eredetinek, és ma már, mondhatni, külön irányzat épült a papírhajtogatásos módszerekre, bizonyításokra meg tételekre. És itt nem is annyira önmagában az eredmény érdekes, hiszen a gyök kettőhöz (ld. kockakétszerezés) máshogy is eljuthatunk, hanem inkább az, hogy eközben valamit valamiért. Egy origami-geometriában az egyre többoldalú, szabályos sokszögeken keresztül eljuthatnánk ugyan a körig (sőt, a pi értékének kiszámításához is), ám egyáltalán nem biztos, hogy a kör ugyanolyan centrális alakzata lenne a geometriának, mint így. Sőt, én személy szerint szinte biztos vagyok benne, hogy nem.
És akkor arról még nem is beszéltünk, hogy hátha a Beloch-féle úton továbbhaladva olyan kérdéseket vethetünk fel, amelyeket a hagyományos megközelítés nem tesz lehetővé – és ezzel még mindig nincs vége a kérdéseknek.
Reuben Hersh a matematika mítoszai között említi, hogy „az általunk ismert matematika az egyetlen lehetséges”. Ez azonban nem igaz, hiszen miként a fentebbiekből már kiderülhetett, a felhasznált eszközök (ld. körző és vonalzó vs papírhajtogatás) befolyásolhatják, hogy mi számít jó vagy érdekes problémának.
Illetve azt is megtehetjük, hogy nem az eszközöket, hanem az alapfogalmakat értelmezzük újra: a fraktálgeometria például értelmezhető úgy is, mint ahol elvetjük azt a hagyományos (eukleidészi) felfogást, mely szerint valami vagy nulla (pont); vagy 1 (egyenes); vagy 2 dimenzióval (sík) rendelkezik stb., és e helyett azt mondjuk, hogy léteznek nem egész számú dimenziók is. Ami persze egyben azt is jelenti, hogy ha a Bólyai-Lobacsevszkij- féle az eukleidészi geometria keretrendszerén belülről érkezett egy posztulátum átértelmezésével (és honnét máshonnét is érkezhetett volna), akkor Mandelbrot minőségileg mást csinált, ugyanis mintegy az alapokat újraértelmezve, a hagyományos felfogás mellé állította a sajátját – és Poincaré talán még inkább ugyanezt tette a topológia („gumigeometria”) megalkotásakor.
Mindenesetre innentől kezdve elkezdhetünk azon tűnődni, hogy milyen, „más eszközalapú”; illetve más, „fogalom alapú” geometriák (mint amilyen a fraktálgeometria is) képzelhetőek el, és erős a gyanúm, hogy még mindkét területen rengeteg lehetőség van.