A Nagy Fermat-tétel és "a könyvből" származó bizonyítások

Az utóbbi évtizedek talán legnagyobb matematikai szenzációja a Nagy Fermat-tétel bebizonyítása volt – a történet azonban korántsem olyan egyszerű, mint amilyennek látszik.
Egyfelől ugyanis felmerülhet a kérdés, hogy miért éppen ez, és azt válaszolhatjuk rá, hogy minden bizonnyal jelentős mértékben történeti okokból. Az például, hogy léteznek-e tökéletes páratlan számok (ahol a szám osztóinak összege magának a számnak mint osztónak az elhagyásával azonos a számmal), minden bizonnyal nem nehezebben megérthető probléma; nekem nem tűnik kevésbé izgalmasnak; és nem is újabb. Viszont mégsem foglalkoztatja az emberek túlnyomó többségét. De említhetnénk más példákat is: elvégre ne feledjük, hogy (bizonyos határokon belül) mindig szubjektív, hogy mi számít fontosnak és mi nem.
Viszont amikor Paul Wolfskethl darmstadti gyáros szerelmi bánat miatt öngyilkosságot akart lekövetni a 19. század második felében, akkor elhatározta, hogy ezt pontosan éjfélkor fogja megtenni – ám a könyvtárában rábukkanva Fermat állítására, annyira belemerült az olvasásba, hogy elmulasztotta az időpontot. Úgyhogy hálája jeléül díjat alapított a bizonyítás honorálására, és göttingeni egyetem csak az első évben 621 „megoldást” kapott. Még egy szabványválaszt is kénytelenek voltak rendszeresíteni, mely szerint
„Kedves… Úr/asszony!
Köszönettel vettük a Fermat-sejtés megoldásáról szóló kéziratát. Az első hiba a …-dik oldalon, a …-dik sorban található. Ebből kifolyólag a bizonyítása nem értékelhető.”
Ám David Hilbert 1900-ban ennek ellenére még ha a bevezetőben megemlítette is, mégsem vette fel a korszak 23 legfontosabb matematikai problémájának a listájára – és miért is tette volna. Fermat állítása mindössze annyi volt, hogy az a^n+b^n=c^n-nek nincs megoldása, ha n 2-nél nagyobb, pozitív egész szám – ami kétségkívül érdekes állítás ugyan, de még akkor sem több ennél, ha ma többek között arra szokás hivatkozni, hogy a bebizonyításához vezető kutatások során számos érdekes és fontos eredmény született. Csak éppen bármelyik nehéznek bizonyuló bizonyításnak ez lett volna az eredménye: elvégre amennyiben nem triviális, úgy sokat kell dolgozni vele.
Ráadásul ott van Carl Linderholm, aki a Mathematics Made Difficult című 1972-es könyvében azt kérdezi, hogy mivel folytatódhat az 1,2,3,4,5 számsor. Meg a 2,4,6,8,10; az 1,4,9,16,25 és még néhány másik. Majd pedig megmutatja, hogy a Lagrange-féle interpolációs képlet mindegyikre a 19-et adja ki. Értsd: ugyanazt a (matematikai) jelenséget többféleképpen is lehet magyarázni, és persze az sem kétséges, hogy bizonyítani is több úton-módon lehet. Elisha Scott Loomis 1940 körül például nem csupán 370 bizonyítást gyűjtött össze a Pitagorasz-tételre, de eközben 4 csoportba is sorolta őket: algebrai bizonyítások (109); geometriai (255); a komplex vektortereken alapuló kvaternionikusak (4) és a dinamikán alapulóak (2).
De hogy visszatérjünk a Fermat-tételhez: ráadásul Wiles valójában nem is ezt bizonyította be (és a dolgozatában ezért nem is említi Fermat nevét), hanem az ennél általánosabb Taniyama – Shimura sejtést, amelyből viszont következik a Fermat-tétele is.
Végül pedig egy további példaként ott van Klein ún. erlangeni programja is, mely szerint „a geometria nem más, mint csoportelmélet”. Amiből pedig az következik, hogy  egy régóta tanulmányozott területet adott esetben vissza lehet vezetni egy újra; és így új megoldások bizonyítások is születhetnek – akár egy régi sejtésre, akár pedig egy olyanra, amely korábban fel sem merült.
Semmi okunk sincs tehát feltételezni, hogy a jövőben ne találhatnánk más bizonyításokat a Fermat-tételre is; illetve, hogy ezek egyike-másika nem lehetne jóval egyszerűbb a Wiles-félénél, amely több mint 100 oldalra rúg, és a világon alig néhányan képesek megérteni. Erdős Pál nagyon szerette mondogatni, ha egy bizonyítás nagyon tetszett neki, hogy az „a könyvből” való; valójában azonban nem egy könyv van, hanem egy egész könyvtár, és ebből egyes műveket még el sem kezdtünk írni.

A bizonyítástól az új kísérleti matematikáig

Timothy Gowers angol matematikus szerint a filozófusok elvitatkozgathatnak azon, hogy léteznek-e a számok vagy sem, de egy matematikus ezek létét vagy magától értetődőnek tekinti, vagy pedig nem is érti a problémát. Majd pedig azt is hozzáteszi, hogy a matematikai „módszer mottója az lehetne, hogy egy objektum azonos azzal, ahogyan viselkedik”, és ennek megfelelően „nem maguk a számok fontosak, hanem a rájuk vonatkozó szabályok”.
Viszont ha nem tekintjük is relevánsnak, hogy mi a szám, az, hogy mi a matematika, egészen biztosan számít – elvégre, bármilyen tautologikusan is hangozzék, ez határozza meg azt, hogy mit tekintünk matematikának. És ez nem csupán változhat, de jó néhányszor változott is a történelem folyamán.
A görögök kezdték a számok mellett a geometriai alakzatok tudományának tekinteni; Leibniz és Newton hatására a mozgás, a változás és a tér is bekerült a matematikával foglalkozók repertoárjába; míg a 19. század végén a fentebbiek „vizsgálatában alkalmazott matematikai arzenál is”, hogy mára lényegében a „mintázatok tudományává” váljon (legyenek bár azok a mintázatok a számelmélet vagy éppen a topológiai mintázatai), írja Keith Devlin amerikai matematikus. Eközben szerinte a matematika mindvégig megőrző jellegű maradt, vagyis azok a problémák, melyek az ókorban ide tartoztak, ide tartoznak a 21. században is.
Tehát adódik a kérdés, hogy egyfelől
a matematika kiterjesztése a jövőben is folytatódni fog-e, vagy pedig elértük a kiterjesztés lehetséges határait? Másfelől pedig, hogy eközben
a matematika továbbra is megőrző jellegű marad, vagy pedig egyes területei a jövőben kimaradnak belőle?
És ami azt illeti, a válasz korántsem olyan egyszerű, mint szeretnénk.
Amikor Luigi Serafini olasz művész az 1970-es évek végén elkészítette minden idők egyik legkülönösebb művészi alkotását, a képzeletbeli világot bemutató Codex Seraphinianust, akkor ehhez külön írásrendszert alkotott, a képek pedig egy teljesen a miénktől eltérő logikájú univerzumot mutatnak be. Ám maga a könyv olyan fejezetekre volt osztva, mint a flóra; a fauna; a kétlábúak stb. Értsd: többé-kevésbé szorosan követte a jelenleg a Földön használatos taxonómiát.
Viszont miért is ne választhatna valamilyen más kategorizálást? Borges említ egy képzeletbeli enciklopédiát, amely az állatokat úgy kategorizálja, hogy „a, a Császár birtokát képezők; b, a bebalzsamozottak; c, a megszelídítettek; d, szopós malacok; e, szirének; f, mesebeliek; g, a szabadban futkározó kutyák; h, az ezen osztályozásban foglalt állatok; i, amelyek rohangálnak, mintha csak megvesztek volna; j, a megszámlálhatatlanok; k, amelyeket roppant finom teveszőr ecsettel festettek; l, stb.; m, amelyek az imént törték el a korsót; n, amelyek távolról legyeknek látszanak.”
Ami minden bizonnyal jól érzékelteti (még ha ironikusnak tekinthető is), hogy többféle kategorizálás lehetséges. Márpedig ez egyáltalán nem mindegy: amikor a 19. században a korábban különálló diszciplínákként létező természethistóriát, botanikát stb. egységesen biológiakánt kezdték kezelni, akkor az egész felfogás is megváltozott. Ennek megfelelően érdemes lenne kipróbálni, hogy miként, a mostanitól eltérő módon tudnánk még a matematikát keretrendszerbe foglalni? Ekkor talán rábukkanhatnánk olyan, új értelmezésekre/megközelítési módokra/területekre, amelyek így egyszerűen nem látszanak a számunkra – mint ahogy a nem eukleidészi geometriák sem látszottak a 19. század közepéig. Ugyanis ahhoz, hogy értelmezni tudjuk őket, el kellett jutni arra felismerésre, hogy nem csak „a” geometria” létezik, hanem ennek vannak különböző változatai is. Innentől kezdve viszont neki lehetett állni ezeket tanulmányozni.
Tehát a megközelítés sem mindegy. Különösen, hogy Devlin minden bizonnyal egy 20. század végi szemléletet vetít vissza a múltba, hiszen a matematika (bármit jelentsen is ez a fogalom) a septem artes liberales részeként egészen biztosan nem úgy értelmezték, mint a ma. Ugyanis például olyan értelemben tekintették eszköznek a misztikus valóság megragadására még Kepler idején is, ami számunkra elfogadhatatlan lenne (hacsak nem vagyunk numerológusok).
És hasonló a helyzet a bizonyítás ma központinak tekintett szerepével is: amikor ismét csak Kepler azt gondolta, hogy a Világmindenség harmóniáit a matematikai szabályok írják le, akkor (mivel valójában mást értett a matematika alatt, mint mi, ezért) eszébe sem jutott, hogy ezt bizonyítani kellene.
Ezen a ponton nem a bizonyításnak a mai matematikában játszott alapvető szerepét akarom kétségbe vonni; és az sem kétséges, hogy hasznos eszközről van szó – viszont a fentebbiek szerint elképzelhetőek más, alkalmasint a „bizonyítás matematikája” mellett létező megoldások is. A bizonyításokon alapuló matematika ugyanis – hogy ismét egy tautológiával álljak elő – azon problémák esetében működnek jól, melyek a bizonyításokon keresztül ragadhatóak meg. A prímek például tipikusan ellenállni látszanak az ilyen típusú problémamegoldásnak, és a bizonyításkeresés különben is minden bizonnyal behuzalozza, hogy milyen kérdések tűnnek érdekesnek vagy fontosnak a matematikán belül.
Mostanra viszont elképzelhetőek más megoldások is, ahol tárgyalhatóak olyan kérdések is, melyeknek eddig nem sok értelme volt.
Az úgynevezett kísérleti – vagy ha úgy jobban tetszik – számítógép-támogatott matematikát a Riemann-féle zéta funkció vizsgálatától a pi értékét megadó új képletek kereséséig sok dologra használják. Ami viszont bizonyos szempontból kissé olyan, mintha a számítógépet egyszerűen fejlettebb írógépként kezelnénk.
A Science 2020 Group néhány évvel ezelőtt arra számított, hogy a számítástechnika ugyanúgy be fog olvadni a tudományosság alapjaiba, mint ahogy a matematika tette a 17. században, aminek az volt a következménye, hogy a korábbi, arisztotelészi, a tárgyakat mozgató „vágyakon” alapuló „fizikát” felváltotta az új, ma is elfogadott természettudományos megközelítés. Vagyis alapvető változás volt a végeredmény, és kíváncsi lennék, hogy most is így lesz-e.
Mint ahogy arra is, hogy ez (miként feltételezem) tényleg vissza fog-e hatni magára a matematika természetére.
Jelenleg ott van egyfelől a hagyományos bizonyítás, amely kizárólag a matematika eszközeit használva eldönti, hogy egy tétel igaz-e vagy sem. Másfelől ezt egészíti ki a „bizonyítás kimerítés által”, amikor – miként a négyszín sejtés számítógépes bizonyításánál vagy Keplernek a teret gömbökkel való kitöltésére vonatkozó problémájánál történt – végigpróbálgatják az összes lehetséges megoldást, és ezáltal jutnak eredményre.
A harmadik megoldás pedig az lehet, hogy (a fentebbi módszerek megtartása mellett) a matematikán belül kialakul egy olyan terület is, és itt ugyanúgy nem lesz elvárás a teljes bizonyosság, mint ahogy a természettudományokban sem, ahol nem működik a véges sok példán alapuló teljes indukció. Ennek köszönhetően viszont olyan matematikai kérdések is tárgyalhatóak lesznek – még ha a teljes bizonyosság nélkül is –, amelyek jelenleg nem. Azaz mint ahogy korábban a természettudományokat próbálták a matematika képére formálni, most a matematika kezdene majd hasonlítani a természettudományokhoz.
És, ki tudja, talán egyszer majd ide fog esni a matematikai kutatások súlypontja is.

Primitív prímek, kétszeres szakaszszámok és hasonlók

A kapcsolat című filmben a főhősnő számára akkor válik nyilvánvalóvá, hogy idegen civilizáció jeleit fogta, amikor rájön, hogy a számsor prímekből áll: 59, 61, 67, 71… stb. A matematikus Marcus du Sautoy ezzel kapcsolatban azt mondja, hogy „a prímek azok a számok, amelyeket keresztülküldhetünk a Világegyetemen”, hiszen, mint ismert, minden szám egy és csak egyféleképpen prímtényezőkre bontható.

Értsd: minden természetes szám belőlük áll össze, tehát ez a kézenfekvő választás. És persze ennél egyszerűbbet nem is találhatunk, mert bár a szorzás valójában az ismételt összeadásra vonatkozó rövidítés, az összeadás szintjén nem létezik ilyen felbontás, hiszen míg a prímtényezőkre bontásnál látszik a szám „szerkezete”, addig az összeadásnál egyetlen masszába olvad össze az egész, és utólag nem lehet megmondani, hogy mondjuk az 5-ös 4+1-ként vagy 2+3-ként jött-e létre. Ráadásul a 2, a 3 vagy az 5 mindegyike az 1-ből kiindulva konstruálható meg, és ez így bizony unalmas.
Másfelől viszont azon is érdemes eltűnődni, hogy mivel a prímek a szorzás/osztás szintjén tűnnek fel, ezért akár úgy is fogalmazhatnánk, hogy létük ezek létének köszönhető. Értsd: egyfelől ha egy civilizáció nem használja ezeket, akkor (bár kérdéses, hogy ez esetben képes lenne-e kozmikus üzeneteket küldözgetni) a prímekkel sem fog törődni. Másfelől: legalábbis megpróbálhatunk egy alacsonyabb szinten: az összeadás és kivonás szintjén valami, a prímekhez hasonlót, illetve egy olyan megoldást találni, ahol a csupa 1-esnél kevésbé érdektelen építőkövekre tudjuk lebontani a számokat, és én ehhez kiindulási pontként a pozitív egész számokat tartalmazó számegyenest választottam.
Szabályként pedig azt, hogy a számnak a nála értelemszerűen kisebbek számok egymást követő sorozatából kell összeállnia, így tehát 6 például 1+2+3-mal egyenlő. Ekkor azt találjuk, hogy az 1-nél nagyobb páratlan számok nagyon egyszerűen felépíthetőek: 3=1+2; 5=2+3, 7=3+4 (és így tovább). Az ilyen felbontást pedig jelölhetjük úgy az egyszerűség kedvéért, hogy 6=1_3; 7=3_4.
Eközben viszont lesznek olyan páros számok, melyek a számegyenes egy szakaszából nem konstruálhatóak meg: például a 4; a 8; a 16 stb. Nevezzük az ilyeneket az egyszerűség kedvéért „primitív prímeknek”.
A képet tovább bonyolítja, hogy ismét csak eközben akadnak majd olyan számok is, amelyek többféleképpen állíthatóak elő a számegyenes egy darabjából:  példának okáért: 15=7_8=1_5, ami egyben azt is jelenti, hogy a „közönséges számok” meg a „primitív prímszámok” mellé bevezethetünk egy harmadik kategóriát: a „kétszeres szakaszszámot” is, amelynek nem tudom, hogy mi felelhetne meg a szorzás világában.
A többszörös szakaszszámokkal kapcsolatban arra tippelek, hogy nincsenek háromszorosak vagy nagyobbak – de tudni persze nem tudom. Abban viszont egészen biztos vagyok, hogy ez a fentebb felvázolt is egy meglehetősen érdekes rendszer, még ha kissé mások is a jellemzői, mint a szorzásénak. De azért eléggé izgalmas ahhoz, hogy ne csak egy hipotetikus idegen civilizáció sugározzon felénk primitív prímeket vagy éppen kétszeres szakaszszámokat, hanem mi is elbabráljunk velük.

A számok formája

Egy John Langdon nevű grafikus az egész életművét az ún. ambigramokra építette: ezek olyan szövegek, melyek a megfelelő tipografizálásnak köszönhetően fejjel lefelé is olvashatóak.
Nos, egyes számok fejre állítva is ugyanazok maradnak. Ilyen a 0 és a 8 (meg némi jóindulattal az 1); a 6-os és 9-es pedig egymást adják ki. Ennek megfelelően 1691 például fejre állítható évszám. Ugyanilyen legközelebb a 6009-es és a 6119-es évek lesznek, tehát jócskán kell még várnunk rá – hacsak nem nekiállunk átalakítani a számokat. Elvileg ugyanis elképzelhető lenne egy olyan (amúgy nem különösebben izgalmas verzió), ahol
•    a számjegyek úgy vannak megalkotva, hogy felülnézetből is ugyanolyannak látsszanak; illetve
•    konstruálhatnánk olyanokat is, ahol az egyik szám a másiknak látszana megfelelő irányból nézve.
A nálunk szokásos vízszintes írásmódnál persze a fent – lent ellentétpárban gondolkodunk, de ha függőleges sorokat írnánk, akkor a jobb – bal tűnne izgalmasnak. Sőt, akár az olyan számjegyek gondolatával is eljátszhatnánk, ahol 90 fokos elforgatva kapjuk meg az egyikből a másikat. Ami leginkább annyiban érdekes, hogy ráirányítja a figyelmet arra, hogy bizonyos esetekben leginkább a hagyomány játszik szerepet – miként a számjegyek alakjánál is, ahol pl. a tízes számrendszerben az alak és a jelentés között a 0 és 9 közötti számoknál legfeljebb az egy esetében van némi. De elvileg nem lenne akadálya olyan számjegyek használatának sem, ahol a forma mutatná, hogy páros vagy páratlan-e (mondjuk az előbbi a 8-ashoz hasonlóan görbékből, az utóbbi egyenes szakaszokból épülne fel).
Amire azt lehet válaszolni, hogy teljesen felesleges ilyen információkat magába a szám alakjába beleépíteni, ám ott van a helyi értéken alapuló számrendszer, ahol a számok egymáshoz viszonyított pozíciója határozza meg az értéket, és ahol a konvenció szerint a helyi érték balról jobbra haladva nő.
Úgyhogy a formai megoldásokat vizsgálva akár át is térhetünk a számrendszerekre, hiszen itt is szinte korlátlanok a lehetőségeink. Egy Robert Forslund nevű szerző például azt vetette fel, hogy míg egyfelől nem éppen logikus, hogy a tízes számrendszerben a váltás a 9, nem pedig a 10 után következik, másfelől a 0 mint helyi érték (az ókori görög megoldáshoz hasonlóan) elhagyható, ha a számokat 1-től 9-ig használjuk, a 10-et pedig mondjuk az „A”-val helyettesítjük. Ekkor a 100-at pl. úgy írnánk, hogy 9A (értsd: 9*A+A); az 1000 pedig 99A lenne. Az ilyesmit szokás bijektív 10-es alapú rendszernek vagy zéró nélküli tízes rendszernek nevezni (de azért érdemes benne a nulla jelölésére külön jelet használni).
Hogy egy másik lehetőséget említsek: a negatív számon alapuló számrendszert 1885-ben Vitorio Grünwald találta ki, és a negadecimálisnál a 12,243 egyenlő azzal, hogy 10,000 + (-2,000) + 200 + (-40) + 3, vagyis 8,163 a hagyományos decimális rendszerben.
Azaz, mondhatni, itt maga a szám tárolja azt az információt, hogy pozitív-e vagy negatív.
Továbbá bevezethetnénk külön „helyi értéket” arra, hogy prímszám-e (pl. úgy, hogy 13P, 14N), és ennek talán még lenne is némi értelme, hiszen ezt máskülönben ránézésre sokszor nehéz eldönteni.
De próbálkozhatunk a hagyományos számjegyírási konvenciókat megváltoztatva azzal is, hogy két számjegyenként egymás alá, ellenkező irányba, busztrofedon-rendszerben írjuk őket (ahol előbb balról jobbra haladunk, a következő sorban jobbról balra, majd megint balról jobbra stb.).
Ekkor az első négyjegyű prímszám (1009) úgy nézne ki, hogy
10
90
és az emirpek analógiájára (amelyeknél az egyik prím a decimális rendszerben a másik tükörképe: 13 --- 31) eljátszhatnánk azzal, hogy olyan prímeket keressünk, amelyek egymásnak nem egy függőleges, hanem egy vízszintes tengely körüli tükröződései. Pl. az 1301-es prím busztrofedonnal:
13
10
az 1031-es prím pedig:
10
13.
Persze ebben a formában már az összeadás is másmilyen lenne, de az ötlet azért megért annyit, hogy leírjam, és különben is: a számítógépe feltehetően elboldogulnának vele?. Ráadásul miért is állnánk meg itt, és miért is ne képzelnénk el a többjegyű számokat térbeli alakzatokként? A nyolcjegyűekből például „kockaszámokat” csinálhatnánk, és azt vizsgálhatnánk, hogy attól függően, hogy miként „hajtogatjuk be” őket a 2x2 oldalú négyzetbe, milyen szabályosságok (szimmetriák) jelennek meg a 8 jegyű prímeknél… és még folytathatnám.