Eukleidésznél minden bizonnyal ma a matematikán kívülinek tekintett megfontolások is szerepet játszottak. Miként John L. Bell megjegyzi (a The Art of the Intelligible lapjain), a háromszögszámok közül a 10: a tertaktys Püthagorasz követőinél kitüntetett szerepet játszott, mivel ez az első négy természetes szám (1,2,3,4) összege. Emellett pedig „a lehetséges geometriai dimenziók összege: 1 pont: a generátor; 2 pont: a vonal; 3 pont: a sík; 4 pont: a (tetrahedrikus) térfogat”. És innentől kezdve persze, hogy a pontból indulunk ki (és jó lenne tudni, hogy hol máshol befolyásolták még a döntését hasonló megfontolások).
Egy „csak hajtogatáson” alapuló origami-geometriánál viszont, ahol a „hagyományos” origami-geometriával ellentétben nem engedjük meg, hogy – mintegy az eukleidészi felfogás örökségeként – minden további nélkül pontokat használjunk, első lépésben maga a sík adott; és ennek hajtogatása eredményezi az egyeneseket, amelyek segítségével előállíthatunk egy pontot. És ezzel el is jutottunk az ún. „pont nélküli” geometriákhoz, ahol nem a pont a kiindulási pont :-).
Ezeknél a matematikus Giangicomo Gerla megfogalmazása szerint „a régiókat tekintjük individuumoknak”, vagyis ezek „a logika nyelvén szólva elsőrendű objektumok, míg a pontokat olyan osztályok reprezentálják, melyek… másodrendűek”. Már Lobacsevszkij is kísérletezett ilyesmivel, de a téma csak a 20. század végére vált kidolgozottá.
Elbíbebelődhetnénk persze azzal, hogy a „csak hajtogatáson” alapuló megoldásoknál a pont leghamarabb a harmadik lépésben jelenhet meg, és ekkor a léte mintegy bele van ágyazva az egyenesekébe (melyeké viszont a síkéba); illetve elkezdhetnénk az építkezést nem a síkból, hanem az egyenesből kiindulva (miként egyfajta „fizikai geometria” kidolgozásakor Tim Maudlin tette).
Számomra azonban még ennél is izgalmasabbnak tűnik, hogy amennyiben nem az egyetlen lehetséges megoldás az eukleidészi pont – egyenes – sík felfogás, akkor a sík – egyenes - pont hármas mellett milyen más elemekből építhetnénk még fel a geometriát?
Kiindulhatnánk például az origami-geometria síkja helyett a térből? Sőt, esetleg nem is a három, hanem egy n-dimenziós térből? És attól, hogy a csak hajtogatást megengedő origami-geometriában is három alapelemmel dolgozunk (noha a „származtatás” sorrendje más, mint Eukleidésznél), más megoldásoknál is éppen három elemre lenne szükség?
