Mindörökké geometria?

Felix Kelin német matematikus 1872-ben arról beszélt, hogy a különböző geometriákat az alapján lehet csoportosítani, hogy milyen transzformációkat engednek meg – és ez aztán elvezet további kérdésekhez is.

De hogy az elején kezdjem: ami például asz eukleidészi geometriát illeti, ott eltolhatunk egy háromszöget, és eközben nem változnak meg a szögei vagy az oldalainak a hosszúsága. A topológia pedig úgy írható le, mint ahol a homeomorfizmusra nézve változatlan tulajdonságokkal foglalkozunk. Értsd: mintha csak egy gumilepedőre lenne rárajzolva az egész, és kizárólag az számít, ami a nyújtások és hajlítások ellenére megmarad. Ezért szokás némileg ironikusan azt mondani, hogy a topológus az a matematikus, aki nem tudja megkülönböztetni a fánkot a kávés csészétől.
Ami azonban nem jelenti azt, hogy Klein programjával már minden lehetőséget kimerítettünk volna. Amikor Eukleidész arról beszél, hogy melyek azok a tulajdonságok, melyek megmaradnak a háromszög odébb tolásával (elforgatásával stb.), akkor ki nem mondva bár, de azzal a feltételezéssel él, hogy a tér mindenütt ugyanolyan. Ami másként fogalmazva azt jelenti, hogy „ha létezik olyan tér, amelyben a párhuzamossági axióma nem áll fenn, akkor ott nem léteznek hasonló háromszögek”, állapítja meg Mlodinow a geometria történetéről írva. Márpedig a nem eukleidészi geometriáknál ez a helyzet.
De felvethető az is, hogy miért is lenne (egy képzeletbeli) tér nem csupán nem eukleidészi, hanem nem lépték-független is. A Riemann-geometriában minél kisebb egy háromszög, annál inkább hasonlít az eukleidészihez – és minél nagyobb, annál inkább eltér tőle. De azért értelemszerűen ugyanaz a geometria írja le a kis meg a nagy háromszögeket is – viszont mi lenne, ha eljátszanánk egy olyan geometria ötletével, ahol a különböző méretekhez/nagyságrendekhez különböző jellegű geometriák társulnak még akkor is, ha amúgy a térrel kapcsolatban természetesnek érezzük, hogy kicsiben és nagyban ugyanolyan a szerkezete? Egy nem feltétlenül pontos hasonlattal élve: az a szakasz, amely távolról nézve vastagság nélkülinek tűnik a monitoron, közelről pixelekre esik szét.
És vannak általánosabb kérdések is a geometriával kapcsolatban.
Először is: a 19. századig a geometria számított a matematika „alapjának”, de a nem eukleidészi geometriák felfedezését követő válság hatására a 20. század elejére úgy tűnt, hogy az aritmetikából kell kiindulni. A Brouwer-féle intuicionizmus például Kronecker nyomdokán haladva a természetes számokat tekintette adottnak, és eközben bár elutasította a nem eukleidészi geometriák ismeretében Kantnak a geometria a proiri (eleve adott) voltára vonatkozó elképzelését, azt a kanti elképzelést megtartotta, hogy a számolás és a szám (az aritmetika) a priori adott, és mint ilyen az idő egymás után következő eseményein alapul.
Mi viszont, amennyiben nem fogadjuk el az aritmetika a priori természetére vonatkozó elképzelést (mint ahogy én sem teszem), nem csak azon töprenghetnénk el, hogy vajon milyen más számfajtákból indulhatnánk ki, de azon is, hogy vajon a matematika fejlődésének egy későbbi fázisában nem fogunk-e visszatérni valamilyen geometriai megalapozáshoz? Vagy nem fogunk-e valamilyen teljesen más megoldást választani? Az a modern logika, melyről aztán Russel azt állította, hogy teljes egészében lefedi a matematikát, csupán a 19. század végére, Frege után jelent meg.
És még egy lépéssel tovább menve: Ian Stewart azt mondja, hogy „a matematikai érvelésnek két fő típusa van: a szimbolikus és a vizuális. A szimbolikus érvelés a számjegyek világában gyökerezik”, míg az előbbi a geometriainak feleltethető meg. De ha nem ezen felosztás szerint közelítenénk a matematikához, akkor hogyan máshogy tehetnénk?