A metamatematikán innen és túl

A metamatematika – olvasható a Wolfram-féle MathWorldben – tulajdonképpen „egy másik kifejezés a bizonyításelméletre”, és ide tartozik például a Gödel tétel is. Kissé általánosabban fogalmazva pedig valami olyasmit mondhatunk, hogy a metamatematika magát a matematikát tanulmányozza matematikai módszerekkel.  Vagyis „azt …, hogy mit képes és mit nem képes elérni a matematika”, mondja Gregory J. Chaitin.
Az az „ötlet” pedig, hogy szükség lenne valami ilyesmire, a német matematikus, David Hilbert 20. század eleji programjára vezethető vissza, ahol az lett volna a végső cél, hogy a bizonyítás gép által is elvégezhető, formalizált módszerét dolgozzák ki. Amit az ún. „alapok válsága” tett indokolttá, vagyis az, hogy az 1800-as évek második felében kiderült, hogy korántsem olyan egyszerűek (ld. a nem-eukleidészi geometriákat) vagy ellentmondásmentesek (ld. a Russell-paradoxont) a dolgok a matematikán belül, mint szeretnénk, és az egyik lehetséges megoldásnak az tűnt, ha matematikai (logikai) módszereket alkalmazva megvizsgáljuk, hogy miként lehet egy ellentmondásmentes és jól működő matematikát felépíteni.
A kérdésnek természetesen volt egy matematikafilozófiai vetülete is, Hilbert ugyanis a platóni matematikafelfogással ellentétben (mely szerint a számok valamiképpen léteznek, még ha nem is ugyanúgy, mint egy hétköznapi tárgy) úgy gondolta, hogy a matematika önmagukban üres és jelentés nélküli szimbólumokkal foglalkozik, és így nem is vonatkozik a valóságra, hanem önmagában üres és értelem nélküli „játék”.
Ami már csak azért is érdekes a számunkra, mert innentől kezdve a kérdés több rétegre bontható.
Az egyik szint a matematikafilozófiáé: a formalista és a platonista matematikusok nem értenek egyet „a létezés és realitás” kérdésében (hogy a Davis – Hersh szerzőpáros megfogalmazását vegyem kölcsön).  Egy másik szint magának a matematikának a gyakorlatban való műveléséé: itt viszont a platonisták és formalisták „nem vitatkoznak egymással azon, hogy… az érvelésnek milyen elemei engedhetőek meg” (mondja ismét csak Davis és Hersh).  Tehát úgy tűnhet, mintha a gyakorlat szempontjából teljesen mindegy lenne, hogy melyik állásponttal értünk egyet, és hogy platonistának vagy formalistának tekintjük-e magunkat, mert a tétel, az axióma, a bizonyítás stb. alatt mindkét esetben ugyanazt értjük.
Valójában azonban egy platonista matematikusnak valószínűleg nem jutott volna eszébe a Hilbert-program, és a következő lépésben annak hangoztatásával, hogy a számításokat (és bizonyításokat) mechanizálni kell, valószínűleg nem jutott volna el a modern számítógéphez sem. Mechanikus számológépeket persze már Leibniz és Pascal óta építgettek, de ezek még a 19. század végén – 20. század elején is leginkább nem digitálisak, hanem analógok voltak, még ha utólag hajlamosak vagyunk is a számítástechnika történetének megírásakor a digitálisokra fókuszálni.
Viszont a Hilbert-féle megközelítés nélkül legalábbis valószínűtlen, hogy eljutottunk volna a modern számítástudományhoz.  És persze Hilbert programja vezetett el „egy teljesen új matematikai területhez, a metamatematikához” is, állapítja meg Chaitin.
Amivel azonban még nincs vége a történetnek, ugyanis amikor akár Gödel, akár Chaitin, akár pedig bárki más metamatematikával foglalkozik, akkor adottnak vesz bizonyos dolgokat. Például: az axiomatikus módszert, a szimbolikus logikán alapuló megközelítést és hasonlókat, ám azok a matematikai alapok, melyek alapján jelenleg magát a matematikát tanulmányozzuk, nem valamiféle örökkévaló és megingathatatlan igazságok, hanem a 19. század második – a 20. század első felére jellemző felfogások és megközelítési módok eredményei. Ha pedig ez így van (márpedig ez a helyzet), akkor bátran rákérdezhetünk ezekre is, és megvizsgálhatjuk, hogy a jelenlegi megoldások mellett milyen alternatívák képzelhetőek el.

Prímek és sejtautomaták

Gregory Chaitin amerikai matematikus egyenesen azt mondja, hogy „nem nagyon érdekelnek a prímszámok”, és hivatkozik Ramanudzsanra is, aki szerint lehet, hogy helyettük inkább a „maximálisan osztható”, vagyis a lehető legtöbb osztóval rendelkező számokkal kellene foglalkoznunk. Ehhez Chaitin azt is hozzáteszi, hogy az egész kérdésnek leginkább filozófiai jelentősége van, vagyis az, hogy „még egy ilyen egyszerű matematikai területen is azonnal olyan kérdésekbe ütközünk, amelyek megválaszolásának hogyanját senki sem tudja”, és innentől kezdve két megoldás képzelhető el ezekkel a bizonyos csak eggyel és önmagukkal osztható számokkal kapcsolatban.

Vagy az, hogy vannak még számunkra ismeretlen mintázatok/szabályszerűségek, és előbb-utóbb ha nem bukkanunk is rájuk szükségképpen, legalább elvileg rájuk bukkanhatunk majd a jövőben;
vagy pedig a prímszámok (és más matematikai jelenségek) esetében nem léteznek ilyen szabályszerűségek – bármennyire meglepően is hangozzék ez elsőre.

Mely utóbbi feltételezéssel összhangban Stephen Wolfram az Újfajta tudományban a sejtautomatákból kiindulva két megállapítást tesz: hogy

• egyszerű rendszereket létrehozva hamar átlépünk egy küszöböt, és ezt követően a rendszer előre jelezhetetlenül kezd viselkedni; illetve, hogy
• a további, komplexebb szabályok általában nem vezetnek növekvő komplexitású jelenségekhez.

Majd pedig a példák között a prímeket is megemlíti, ahol egyszerű szabályok (oszthatóság) előre jelezhetetlen viselkedést (előre jelezhetetlen módon megjelenő prímek) eredményeznek. Amiből nem mellékesen az is következik, hogy bármiféle szabálykeresés, ideértve pl. az Ulam-spirált is, eleve kudarcra van ítélve.
Ugyanis az ilyen rendszerekben csak úgy lehet kideríteni, hogy a sejtautoma egy adott helyén van-e valami vagy nincs (illetve, hogy egy adott szám prím-e), hogy megvizsgáljuk a szóban forgó esetet – de nincs valamiféle szabályból következő válasz. Az pedig, hogy az Ulam-spirál szabályszerűséget látszik mutatni, egyáltalán nem meglepő: Wolfram számos példát mutat ilyesmire a sejtautomatáknál.
Amennyiben elfogadjuk az érvelését (márpedig én elfogadom), akkor legalább három kérdést tehetünk fel.

• Egyfelől azt, hogy vajon csupán ez az egyetlen komplexitási küszöb létezik-e, vagy pedig azért nem bukkantunk még újabbakra, mert a Wolfram által használt egyszerű sejtautomaták nem elég bonyolultak ahhoz, hogy elvezessenek hozzájuk?
• Másfelől: eddig lehet, hogy túlságosan is a „szabályok tudományának” tartottuk a matematikát, és amivel nem boldogultunk, azt egyszerűen még meg nem oldott problémának tekintettük, noha elképzelhető, hogy jó néhányat közülük nem is lehet a hagyományos értelemben megoldani.
• Végezetül a kiindulási problémánkhoz visszakanyarodva: úgy tűnik (és azért fogalmazok ilyen óvatosan, mert itt, lévén nem a matematika hagyományos megközelítéséről szó, a hagyományos bizonyosságnak sincs helye), hogy az összeadás és kivonás (miként korábbi blogbejegyzésekben már érintettem) nem elég bonyolult ahhoz, hogy olyan szabálytanul viselkedő jelenségeket hozzon létre, mint amilyennek a szorzás és osztás „magasságában”, azt a bizonyos komplexitási küszöböt átlépve a prímszámok bizonyulnak.  Viszont jó lenne tudni, hogy vajon milyen más, nem szorzáson és osztáson alapuló matematikai rendszereket építhetnénk rá az összeadásra és kivonásra, ahol hasonlóan összetett és előre jelezhetetlen eredmények lépnének fel, mint most?