Prímek és sejtautomaták

Gregory Chaitin amerikai matematikus egyenesen azt mondja, hogy „nem nagyon érdekelnek a prímszámok”, és hivatkozik Ramanudzsanra is, aki szerint lehet, hogy helyettük inkább a „maximálisan osztható”, vagyis a lehető legtöbb osztóval rendelkező számokkal kellene foglalkoznunk. Ehhez Chaitin azt is hozzáteszi, hogy az egész kérdésnek leginkább filozófiai jelentősége van, vagyis az, hogy „még egy ilyen egyszerű matematikai területen is azonnal olyan kérdésekbe ütközünk, amelyek megválaszolásának hogyanját senki sem tudja”, és innentől kezdve két megoldás képzelhető el ezekkel a bizonyos csak eggyel és önmagukkal osztható számokkal kapcsolatban.

Vagy az, hogy vannak még számunkra ismeretlen mintázatok/szabályszerűségek, és előbb-utóbb ha nem bukkanunk is rájuk szükségképpen, legalább elvileg rájuk bukkanhatunk majd a jövőben;
vagy pedig a prímszámok (és más matematikai jelenségek) esetében nem léteznek ilyen szabályszerűségek – bármennyire meglepően is hangozzék ez elsőre.

Mely utóbbi feltételezéssel összhangban Stephen Wolfram az Újfajta tudományban a sejtautomatákból kiindulva két megállapítást tesz: hogy

• egyszerű rendszereket létrehozva hamar átlépünk egy küszöböt, és ezt követően a rendszer előre jelezhetetlenül kezd viselkedni; illetve, hogy
• a további, komplexebb szabályok általában nem vezetnek növekvő komplexitású jelenségekhez.

Majd pedig a példák között a prímeket is megemlíti, ahol egyszerű szabályok (oszthatóság) előre jelezhetetlen viselkedést (előre jelezhetetlen módon megjelenő prímek) eredményeznek. Amiből nem mellékesen az is következik, hogy bármiféle szabálykeresés, ideértve pl. az Ulam-spirált is, eleve kudarcra van ítélve.
Ugyanis az ilyen rendszerekben csak úgy lehet kideríteni, hogy a sejtautoma egy adott helyén van-e valami vagy nincs (illetve, hogy egy adott szám prím-e), hogy megvizsgáljuk a szóban forgó esetet – de nincs valamiféle szabályból következő válasz. Az pedig, hogy az Ulam-spirál szabályszerűséget látszik mutatni, egyáltalán nem meglepő: Wolfram számos példát mutat ilyesmire a sejtautomatáknál.
Amennyiben elfogadjuk az érvelését (márpedig én elfogadom), akkor legalább három kérdést tehetünk fel.

• Egyfelől azt, hogy vajon csupán ez az egyetlen komplexitási küszöb létezik-e, vagy pedig azért nem bukkantunk még újabbakra, mert a Wolfram által használt egyszerű sejtautomaták nem elég bonyolultak ahhoz, hogy elvezessenek hozzájuk?
• Másfelől: eddig lehet, hogy túlságosan is a „szabályok tudományának” tartottuk a matematikát, és amivel nem boldogultunk, azt egyszerűen még meg nem oldott problémának tekintettük, noha elképzelhető, hogy jó néhányat közülük nem is lehet a hagyományos értelemben megoldani.
• Végezetül a kiindulási problémánkhoz visszakanyarodva: úgy tűnik (és azért fogalmazok ilyen óvatosan, mert itt, lévén nem a matematika hagyományos megközelítéséről szó, a hagyományos bizonyosságnak sincs helye), hogy az összeadás és kivonás (miként korábbi blogbejegyzésekben már érintettem) nem elég bonyolult ahhoz, hogy olyan szabálytanul viselkedő jelenségeket hozzon létre, mint amilyennek a szorzás és osztás „magasságában”, azt a bizonyos komplexitási küszöböt átlépve a prímszámok bizonyulnak.  Viszont jó lenne tudni, hogy vajon milyen más, nem szorzáson és osztáson alapuló matematikai rendszereket építhetnénk rá az összeadásra és kivonásra, ahol hasonlóan összetett és előre jelezhetetlen eredmények lépnének fel, mint most?