Nem ellentmondásmentes axiómarendszerek?

Az úgynevezett „reverz matematikáról kissé leegyszerűsítve” azt mondhatjuk, hogy az mintegy visszafelé haladva nem az axiómáktól jut el a tételekig, hanem fordítva: azt vizsgálja meg, hogy milyen axiómákat kell választanunk ahhoz, hogy egy tétel igaz legyen.
Ezt a megközelítést az teszi lehetővé, hogy ma már nem várjuk el az axiómarendszerektől, hogy igazak legyenek, hanem csupán azt, hogy ne tartalmazzanak ellentmondást. Márpedig nagyon sok, sőt, minden bizonnyal végtelen számú ilyet lehet felépíteni, és amennyiben egy meglévő rendszer elég erős ugyan a „szükségesnek látszó” állítás megfogalmazásához, de nem elég erős a bizonyításához, akkor miért is ne próbálnánk módosítani az alapokat a céljaink eléréséhez.
Eközben eltűnődhetünk azon is, hogy

1. a matematika nulladik fázisában (pl. sumérok) nem volt axiómarendszer (és ez persze másutt is előfordult: a matematika nem európai gyökereit tárgyalva említi George Gheverghese Joseph, hogy Ramanudzsan nem használta „a bizonyítás deduktív és axiomatikus” módszerét. És persze az sem érdekelte, hogy „igaz-e” valami, „csak maguk az eredmények számítottak. 
2. Eukleidész után az európaiak számára elvárássá vált, hogy az axiómarendszer igaz legyen (és ebbe persze beleértették azt is, hogy ellentmondásmentes is legyen)
3. a 20. századra pedig kialakult az a meggyőződés, hogy az „igaz mivolt” nem, csak az ellentmondás-mentesség várható el – az viszont mindenképpen meg kell, hogy legyen.
4. Viszont Hofstadter azt írja a Gödel, Escher, Bach-ban, hogy „a paradoxonok mindenáron való kiküszöbölése túlhangsúlyozza a következetességet, különösen akkor, amikor ehhez nagyon elvont formalizmusra van szükség”. Vagyis: mikor és mennyire érdemes elvárni az ellentmondás-mentességet?

A skála egyik végén a hagyományosan ellentmondás-mentességre törekvő matematikai megközelítés található, ahol a Russel-paradoxon hatására az egészet az alapoktól újraépítik – a másik végén pedig egy, a használhatatlanságig ellentmondásos matematikai rendszer helyezkedne el.
Viszont a kettő között vannak átmenetek is – vagyis miért is ne képzelhetnénk el olyan matematikákat, amelyekben előfordulnak ugyan anomáliák, de attól még általában jól működnek? Ismét csak Hofstadter szerint, ha a nyelvre akarnánk alkalmazni a halmazelmélettel kapcsolatos elvárásainkat, akkor az eredmény egy olyan rendszer lenne, ahol „magának az elméletnek a tárgyalása jelentené az elmélet legdurvább megsértését”.
Értsd: egyszerűen nem működne a dolog, és innentől kezdve számomra kérdés, hogy a matematikával szemben viszont miért várjuk el, hogy „tökéletes” legyen még akkor is, ha ehhez mindenféle nyakatekert logikai tornamutatványokat kell végrehajtanunk?
Mint ahogy az "inkonzisztens matematika" éppen az ellentmondásmentesség bizonyos feltételek mellett való elhagyására épít - ami viszont azt jelenti, hogy az eddigi ellentmondásmentes axiómarendszerek mellé most oda kerülhetnek az inkonzisztensek is. Méghozzá nem is kevés, cserébe pedig (talán) olyan területek és kérdések is elérhetőek lesznek, melyek korábban nem voltak azok.