Miért fontos a platonizmus?

Platón

A matematikafilozófia problémáit mintegy matematikán kívül állónak szokás tekinteni, elvégre – hangzik a szokásos érvelés – teljesen mindegy, hogy valaki azt gondolja-e, hogy a számok valamiképpen tényleg léteznek, vagy pedig azt, hogy önmagukban üres és jelentés nélküli szimbólumok. Elvégre így is, úgyis ugyanazokat a bizonyításokat fogjuk érvényesnek tartani. Csak éppen miként Stephan Körner a matematikafilozófiáról szóló tanulmányában megjegyzi, egyes filozófiai kérdések „matematikai problémák felvetéséhez és a matematika olyan új ágainak kialakulásához vezettek, mint a nem-euklideszi geometriák és a matematikai logika absztrakt algebrái”. Mivel a matematika adja meg azt az értelmezési keretrendszert, melyen keresztül magát a matematikát és céljait, módszereit stb. meghatározzuk, egyáltalán nem mindegy, hogy kezdetben milyen filozófiai felfogás volt a meghatározó.
Az például meglehetősen új keletű, a 19. század második felében, Boole-lal, Fregevel és Pierce-szel meg a halmazelmélettel együtt felbukkanó értelmezés, amely „közeli kapcsolatot” tételez fel a matematika és a logika között. Vagyis bár nekünk teljesen természetesnek tűnik a kettő összefonódása, a múltban egyáltalán nem mindig volt az, és igencsak kíváncsi lennék, hogy a jövőben mi lesz a helyzet – és esetleg olyan, egyelőre függetlennek tekintett diszciplínák lesznek-e a matematikára alapvető hatással, amelyekre egyelőre nem is gondolunk.
A logikával való románcnak mindenesetre az is a következménye volt, hogy korábban nem létező, új típusú matematikafilozófiai felfogás alakult ki. A 19. századig uralkodó platonizmus szerint a matematikus lényegében olyan, mint egy geológus, aki valamiképpen létező dolgokat tanulmányoz, és ennek megfelelően nem is kitalál, csak felfedez. Az alap az a platóni felfogás volt, mely szerint a valóságot és a látszatot meg kell különböztetnünk, és persze mindaz, amit látunk és érzékelünk, az utóbbi kategóriába tartozik (ld. Platón barlanghasonlatát). Viszont ez alapján azért következtetni tudunk a „valóságra”: a konkrét asztal csak mintegy az „asztal ideájának” a megjelenése, és ugyanígy sőt, még ígyebbül van a matematikával is. A matematikus ugyan sosem fog „igazi háromszöget” látni, de a konkrét geometriai alakzatokból következtethet a valóban létező, ideális háromszög tulajdonságaira – mint amilyen például az is, hogy a szögei összege 180 fok. Vagyis innentől kezdve a platonista matematika-felfogás arra fókuszál, hogy milyen módon léteznek a matematikai objektumok, és „az aritmetika meg a geometria állításai szükségképpen igazak, mivel változatlan objektumok közötti változatlan viszonyokat írnak le” (hogy ismét csak Körnert idézzem).
A logikai alapú megközelítések viszont, elutasítva a platóni tanítást, nem indulhattak ki a szükségképpen létező matematikai igazságból, tehát az ellentmondás-mentességet választották kritériumul. Valószínűleg nem véletlen, hogy éppen a platonista Gödel bizonyította be ennek a lehetetlenségét az aritmetikára nézve, amennyiben teljes indukciót használunk. Az pedig más kérdés, hogy Gerhard Gentzen később bebizonyította, hogy amennyiben a megszámlálható számosságúaknál nagyobb, végtelen számosságokra épülő, ún. transzfinit indukciót használjuk, amelynek így a „hagyományos” matematikai indukció csupán egy alesete, akkor „ez a módszer lehetővé teszi az aritmetika minden igazságának dedukálását”, mondja J. D. Barrow (a Pi in the Sky című könyvében). Viszont „nem teszi lehetővé a teljes matematika minden igazságának dedukálását, mivel ez utóbbi olyan igazságokat tartalmaz a végtelenekről, melyek igazsága vagy hamissága nem mutatható ki a rendszer logikai masinériáját használva”. A Gödel-problémákra egy későbbi bejegyzésben még visszatérek, tehát egyelőre legyen annyi elég, hogy a logikai alapú felfogások, miközben feladták az igazságot mint kritériumot, nem voltak képesek az ellentmondás-mentességet sem elérni. Viszont eközben már nem a matematikai objektumok létére vagy nem létével foglalkoztak, hanem azzal, hogy milyen tulajdonságokkal kell a matematikai rendszereknek rendelkezniük, és eközben persze végtelenül sok matematika lehetséges. Ugyanis nem kritérium, hogy bármilyen formában az igazságra, vagy ha úgy jobban tetszik, akkor a valóságra vonatkozzon, és ezért is beszél Stanislaw Lem a matematika analógiájaként arról az őrült szabóról, aki minden létező és nem létező teremtmény számára ruhát varr – aztán majd hátha lesz valaki, aki fel is tudja venni.
És ez bizony elég nagy váltás az „igazságon alapuló” korábbi felfogáshoz képest.
Viszont bár a platonizmus mostanra nem látszik védhetőnek, elvégre miért is tételeznénk fel, hogy a tapasztalhatón túl ott vannak holmi formák vagy ideák, azt, hogy milyen elvárásaink vannak vele szemben, és általában véve is milyen természetűnek tekintjük a matematikát, még mindig a platonizmus határozza meg. Még mindig az a bevett felfogás ugyanis, hogy a kiindulási pont az ideális alakzatokkal és formákkal foglalkozó „tiszta” matematika, és aztán ennek – vagy legalábbis egyes részeinek – a minket körülvevő valóságra való alkalmazásával juthatunk el az alkalmazott matematikához. A valóság azonban – nem különösebben meglepő módon – nagyon is más, mint amit a matematikakönyvek leírnak és megengednek, és aki kételkedne ebben, az próbáljon mondjuk egy A4-es papírlapot hétnél többször összehajtogatni. Értsd: ha a görög matematika kezdeteinél nem a paltonista felfogás bábáskodott volna, akkor talán senki sem találná érdekesnek a pi tizedes jegyeit újabb és újabb billiókig való kiszámolását, miközben egy 39 tizedes jegy birtokában a hidrogénatom sugaránál kisebb hibával határozhatjuk meg a világmindenség kerületét.
Azaz: történeti okai vannak, hogy a matematika egy szélsőségesen absztrakt irányba indult le (és erre a szélsőségesen absztrakt matematikára épült aztán rá az egész modern természettudomány is), és kíváncsi lennék, hogy hová és meddig jutottunk volna, ha annak idején más kiindulási pontot választunk.