Számféleségek és számkoncepciók

A kvaternió felfedezése

Abból szokás kiindulni, hogy a természetes számok „természetesek”, értsd: mintegy az alapjai minden más számnak, és mintegy „természetesen adottak”. Ennek a felfogásnak természetesen :-) történeti okai vannak.
John L. Bell amerikai matematikus szerint a természetes számok „minden létező dolog” megszámolására valók; a törtek pedig akkor kerültek előtérbe, amikor az eredetileg számolásra szolgáló számokat „minden létező nagyság” mérésére és összehasonlítására kezdtük használni.
A mai matematikában az 1-et nem tekintjük prímnek. A görögök viszont számnak sem tekintették. Arisztotelész még úgy tartotta, hogy a szám valamiféle „láthatatlan egységek” kollekciója, amiből viszont az következett a számára, hogy mivel az 1 maga az egység, nem pedig több dolog, ezért nem lehet szám. Mint ahogy a törtek sem számítottak annak (elvégre ami nem egész, az nem állhat össze egységekből), és eközben a geometriai nagyságokról – a számokkal ellentétben –  úgy gondolták, hogy azok végtelenül oszthatóak. Ez a felfogás csak az 1500-as évekre adta át teljesen a helyét annak, mely szerint „a szám olyan szimbólum, amely a mennyiséget általában véve mutatja, ide értve a folyamatos mennyiségeket is”, mondja Bell.
A történelem folyamán mindig újabb és újabb „számféleségek” is megjelentek – miként ezt egy-egy megoldandó egyenlettel szokás megmutatni:
1.    x+1=1 (nulla)
2.    x+1=0 (negatív számok; a természetes és negatív számok együtt: egész számok)
3.    x^2=1 (racionális számok)
4.    x^2=2 (irracionális számok) (racionális és irracionális számok együtt: valós számok)
5.    x^2+1=0 (komplex számok)
Vagyis az első hullámban (1., 2.) az összeadás – kivonás; a másodikban (3., 4., 5.) a szorzás – osztás vezetett új megoldásokhoz, és ez a második lépés – egyáltalán nem mellékesen – eredményezte azt is, hogy megjelenhettek a „kétdimenziós” komplex számok, ahonnét már csak egy lépésre vannak a hiperkomplex számok és hasonlók.
Természetesen annak sincs akadálya, hogy a már létező számfogalmakat „továbbfejlesszük”: Edwin Hewitt pl. még a II. Világháború után bevezette a „hipervalós” számokat, melyek a valós számok végtelennel és végtelenül kicsivel (infinitezimális) kibővítésének tekinthetőek.
Dea hagyományos helyett megkülönböztethetjük a számokat más tulajdonságaik alapján is: a kiszámítható (computable) számok például értelemszerűen a számítástechnikával együtt jelennek meg, és minden bizonnyal vannak olyan izgalmasak, mint bármelyik fentebb említett kategória. Különösen, mivel ha a számítástudomány, illetve a felől közelítünk ahhoz a kérdéshez, hogy mire képes egy digitális számítógép, és mire nem, akkor érdekes eredményekre fogunk jutni. Például „a valaha megépítendő legnagyobb számítógép sem lesz képes akár csak egyetlen végtelen nem szakaszos tizedestört tárolására sem”, írja Reuben Hersh. Amennyiben - ad absurdum - a számítástechnika előbb lett volna a modern matematikánál, úgy egészen biztosan máshogy néznének ki a számfogalmaink.
Úgyhogy a kérdés számomra az, hogy

• egyfelől a jövőben milyen számféleségek fognak még megjelenni,
• másfelől: hogyan változik majd a számokra vonatkozó felfogásunk. Legalábbis elképzelhető ugyanis, hogy ugyanolyan alapvető átértelmezések fognak lezajlani, mint az ókori és a modern számfogalom között.
• Végezetül pedig azon is érdemes eltűnődnünk, hogy a számkoncepció tárgyalásánál adottnak vesszük, hogy a természetes számokból indulunk ki – mivel történetileg azok jelentek meg először. Csak éppen ez nem jelenti automatikusan azt, hogy a modern matematika megalapozásának is feltétlenül erre kellene épülnie, és miért is ne képzelhetnénk el olyan rendszereket, ahol nem a természetes számokból kiindulva jutunk el a tört, a valós stb. számokhoz? Vagy esetleg nem is ezekhez, hanem valamilyen teljesen más számkategóriákhoz.