A Gauss-féle elképzelés az első véges aritmetika volt, és a trükk azon alapul, hogy a tő- meg a sorszámra ugyanazt használjuk. 6 könyv említése esetén 6 darab könyvre gondolunk, de ha a repülő jegyre a 6-os szám van nyomtatva, akkor ez annyit tesz, hogy a hatodik hely. A Gauss-féle megoldásnál egyfelől azt számoljuk, hogy hányadik, ahogy lépegetünk a egyik számtól a másikig; másfelől eközben a hatodik helyen talált számot kezeljük a hatodik hely értékeként. Ez a kettő: a hely száma és az adott helyen található érték viszont egy idő után nem esik egybe, amennyiben nem a számegyenesen számolunk, hanem mintegy egy óra számlapján végezzük a műveleteket a hagyományos számlap 12-ese helyett 0-t írva. Ekkor a számok előbb-utóbb elfogynak, és a 12 számjegyű óra lapnál (mod 12) például 11+1 a 0-val lesz egyenlő, mert a mutató a 11-es után a 0-ra ér. Értsd: a számolás körbe ért és újra kezdődik (ennek megfelelően 11+2 pedig 1 lesz, és így tovább). Amit úgy is elképzelhetnénk, mintha a természetes számok számegyenesének a számai 0-tól 11-ig a szokványos módon nőnének, majd a 12 után 0 következne; aztán kezdődne az egész elölről. Vagyis:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,0… és így tovább.
Eljátszhatunk viszont egy olyan véges aritmetikával is, ahol a számegyenes szakasza 0-val kezdődik, egy adott értékig minden ugyanúgy történik, mint szokott, utána viszont csökkenni kezdenek a számok, hogy aztán 0-ig meg se álljanak – majd elölről kezdődik az egész. Mintha csak a szakasz két végpontja között pattogna ide-oda egy pingponglabda. 12-es alap esetén:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,10… stb.
Ekkor 11+1 nem 0 lesz; hanem 10; 22 egyenlő lesz 0-val; 23 pedig 1-gyel. Ez természetesen megfeleltethető egy olyan óra számlapjának, ahol a számjegyek 0-tól 11-ig nőnek, majd onnantól kezdve 0-ig csökkennek.
Egy ilyen rendszerben más lesz a számolás, mint a Gauss-félében. Például mod 4 (első oszlop) és a 4-es alapú pingpongaritmetika (második oszlop) értékei:
0 0
1 1
2 2
3 3
0 2
1 1
2 0
3 1
0 2
1 3
2 2
3 1
0 0
etc.
De ha már játszunk: miért is ne csinálhatnánk olyan aritmetikákat, ahol
0,1,0,1,2,0,1,2,3,0,1,2,3,4… stb (vagyis mintha csak mod 2-vel kezdenénk számolni, és ha abban elértük a 0 pontot, akkor mod 3-mal folytatnánk, hogy a következő lépésben áttérjünk a mod 4-re – és így tovább).
Illetve ugyanezt megtehetjük a pingpong-aritmetikákkal:
0,1,0,1,2,1,0,1,2,3,2,1,0,1,2,3,4,3,2,1,0 stb. Hogy ez mire jó (ha ugyan jó egyáltalán valamire), azt még nem tudom – de mindenképpen jól el lehet bíbelődni vele.
Nincsenek megjegyzések:
Megjegyzés küldése