Primitív prímek, kétszeres szakaszszámok és hasonlók

A kapcsolat című filmben a főhősnő számára akkor válik nyilvánvalóvá, hogy idegen civilizáció jeleit fogta, amikor rájön, hogy a számsor prímekből áll: 59, 61, 67, 71… stb. A matematikus Marcus du Sautoy ezzel kapcsolatban azt mondja, hogy „a prímek azok a számok, amelyeket keresztülküldhetünk a Világegyetemen”, hiszen, mint ismert, minden szám egy és csak egyféleképpen prímtényezőkre bontható.

Értsd: minden természetes szám belőlük áll össze, tehát ez a kézenfekvő választás. És persze ennél egyszerűbbet nem is találhatunk, mert bár a szorzás valójában az ismételt összeadásra vonatkozó rövidítés, az összeadás szintjén nem létezik ilyen felbontás, hiszen míg a prímtényezőkre bontásnál látszik a szám „szerkezete”, addig az összeadásnál egyetlen masszába olvad össze az egész, és utólag nem lehet megmondani, hogy mondjuk az 5-ös 4+1-ként vagy 2+3-ként jött-e létre. Ráadásul a 2, a 3 vagy az 5 mindegyike az 1-ből kiindulva konstruálható meg, és ez így bizony unalmas.
Másfelől viszont azon is érdemes eltűnődni, hogy mivel a prímek a szorzás/osztás szintjén tűnnek fel, ezért akár úgy is fogalmazhatnánk, hogy létük ezek létének köszönhető. Értsd: egyfelől ha egy civilizáció nem használja ezeket, akkor (bár kérdéses, hogy ez esetben képes lenne-e kozmikus üzeneteket küldözgetni) a prímekkel sem fog törődni. Másfelől: legalábbis megpróbálhatunk egy alacsonyabb szinten: az összeadás és kivonás szintjén valami, a prímekhez hasonlót, illetve egy olyan megoldást találni, ahol a csupa 1-esnél kevésbé érdektelen építőkövekre tudjuk lebontani a számokat, és én ehhez kiindulási pontként a pozitív egész számokat tartalmazó számegyenest választottam.
Szabályként pedig azt, hogy a számnak a nála értelemszerűen kisebbek számok egymást követő sorozatából kell összeállnia, így tehát 6 például 1+2+3-mal egyenlő. Ekkor azt találjuk, hogy az 1-nél nagyobb páratlan számok nagyon egyszerűen felépíthetőek: 3=1+2; 5=2+3, 7=3+4 (és így tovább). Az ilyen felbontást pedig jelölhetjük úgy az egyszerűség kedvéért, hogy 6=1_3; 7=3_4.
Eközben viszont lesznek olyan páros számok, melyek a számegyenes egy szakaszából nem konstruálhatóak meg: például a 4; a 8; a 16 stb. Nevezzük az ilyeneket az egyszerűség kedvéért „primitív prímeknek”.
A képet tovább bonyolítja, hogy ismét csak eközben akadnak majd olyan számok is, amelyek többféleképpen állíthatóak elő a számegyenes egy darabjából:  példának okáért: 15=7_8=1_5, ami egyben azt is jelenti, hogy a „közönséges számok” meg a „primitív prímszámok” mellé bevezethetünk egy harmadik kategóriát: a „kétszeres szakaszszámot” is, amelynek nem tudom, hogy mi felelhetne meg a szorzás világában.
A többszörös szakaszszámokkal kapcsolatban arra tippelek, hogy nincsenek háromszorosak vagy nagyobbak – de tudni persze nem tudom. Abban viszont egészen biztos vagyok, hogy ez a fentebb felvázolt is egy meglehetősen érdekes rendszer, még ha kissé mások is a jellemzői, mint a szorzásénak. De azért eléggé izgalmas ahhoz, hogy ne csak egy hipotetikus idegen civilizáció sugározzon felénk primitív prímeket vagy éppen kétszeres szakaszszámokat, hanem mi is elbabráljunk velük.

A számok formája

Egy John Langdon nevű grafikus az egész életművét az ún. ambigramokra építette: ezek olyan szövegek, melyek a megfelelő tipografizálásnak köszönhetően fejjel lefelé is olvashatóak.
Nos, egyes számok fejre állítva is ugyanazok maradnak. Ilyen a 0 és a 8 (meg némi jóindulattal az 1); a 6-os és 9-es pedig egymást adják ki. Ennek megfelelően 1691 például fejre állítható évszám. Ugyanilyen legközelebb a 6009-es és a 6119-es évek lesznek, tehát jócskán kell még várnunk rá – hacsak nem nekiállunk átalakítani a számokat. Elvileg ugyanis elképzelhető lenne egy olyan (amúgy nem különösebben izgalmas verzió), ahol
•    a számjegyek úgy vannak megalkotva, hogy felülnézetből is ugyanolyannak látsszanak; illetve
•    konstruálhatnánk olyanokat is, ahol az egyik szám a másiknak látszana megfelelő irányból nézve.
A nálunk szokásos vízszintes írásmódnál persze a fent – lent ellentétpárban gondolkodunk, de ha függőleges sorokat írnánk, akkor a jobb – bal tűnne izgalmasnak. Sőt, akár az olyan számjegyek gondolatával is eljátszhatnánk, ahol 90 fokos elforgatva kapjuk meg az egyikből a másikat. Ami leginkább annyiban érdekes, hogy ráirányítja a figyelmet arra, hogy bizonyos esetekben leginkább a hagyomány játszik szerepet – miként a számjegyek alakjánál is, ahol pl. a tízes számrendszerben az alak és a jelentés között a 0 és 9 közötti számoknál legfeljebb az egy esetében van némi. De elvileg nem lenne akadálya olyan számjegyek használatának sem, ahol a forma mutatná, hogy páros vagy páratlan-e (mondjuk az előbbi a 8-ashoz hasonlóan görbékből, az utóbbi egyenes szakaszokból épülne fel).
Amire azt lehet válaszolni, hogy teljesen felesleges ilyen információkat magába a szám alakjába beleépíteni, ám ott van a helyi értéken alapuló számrendszer, ahol a számok egymáshoz viszonyított pozíciója határozza meg az értéket, és ahol a konvenció szerint a helyi érték balról jobbra haladva nő.
Úgyhogy a formai megoldásokat vizsgálva akár át is térhetünk a számrendszerekre, hiszen itt is szinte korlátlanok a lehetőségeink. Egy Robert Forslund nevű szerző például azt vetette fel, hogy míg egyfelől nem éppen logikus, hogy a tízes számrendszerben a váltás a 9, nem pedig a 10 után következik, másfelől a 0 mint helyi érték (az ókori görög megoldáshoz hasonlóan) elhagyható, ha a számokat 1-től 9-ig használjuk, a 10-et pedig mondjuk az „A”-val helyettesítjük. Ekkor a 100-at pl. úgy írnánk, hogy 9A (értsd: 9*A+A); az 1000 pedig 99A lenne. Az ilyesmit szokás bijektív 10-es alapú rendszernek vagy zéró nélküli tízes rendszernek nevezni (de azért érdemes benne a nulla jelölésére külön jelet használni).
Hogy egy másik lehetőséget említsek: a negatív számon alapuló számrendszert 1885-ben Vitorio Grünwald találta ki, és a negadecimálisnál a 12,243 egyenlő azzal, hogy 10,000 + (-2,000) + 200 + (-40) + 3, vagyis 8,163 a hagyományos decimális rendszerben.
Azaz, mondhatni, itt maga a szám tárolja azt az információt, hogy pozitív-e vagy negatív.
Továbbá bevezethetnénk külön „helyi értéket” arra, hogy prímszám-e (pl. úgy, hogy 13P, 14N), és ennek talán még lenne is némi értelme, hiszen ezt máskülönben ránézésre sokszor nehéz eldönteni.
De próbálkozhatunk a hagyományos számjegyírási konvenciókat megváltoztatva azzal is, hogy két számjegyenként egymás alá, ellenkező irányba, busztrofedon-rendszerben írjuk őket (ahol előbb balról jobbra haladunk, a következő sorban jobbról balra, majd megint balról jobbra stb.).
Ekkor az első négyjegyű prímszám (1009) úgy nézne ki, hogy
10
90
és az emirpek analógiájára (amelyeknél az egyik prím a decimális rendszerben a másik tükörképe: 13 --- 31) eljátszhatnánk azzal, hogy olyan prímeket keressünk, amelyek egymásnak nem egy függőleges, hanem egy vízszintes tengely körüli tükröződései. Pl. az 1301-es prím busztrofedonnal:
13
10
az 1031-es prím pedig:
10
13.
Persze ebben a formában már az összeadás is másmilyen lenne, de az ötlet azért megért annyit, hogy leírjam, és különben is: a számítógépe feltehetően elboldogulnának vele?. Ráadásul miért is állnánk meg itt, és miért is ne képzelnénk el a többjegyű számokat térbeli alakzatokként? A nyolcjegyűekből például „kockaszámokat” csinálhatnánk, és azt vizsgálhatnánk, hogy attól függően, hogy miként „hajtogatjuk be” őket a 2x2 oldalú négyzetbe, milyen szabályosságok (szimmetriák) jelennek meg a 8 jegyű prímeknél… és még folytathatnám.

Funes, az emlékező, avagy vers a hatvanegyes számrendszerről

„kidolgozott egy eredeti számrendszert, és alig pár nap alatt túljutott a huszonnégy ezren… Azt hiszem, zavarta, hogy az arab "harminchárom" jelölésére egyetlen szó és egyetlen jel helyett két jelre és két szóra van szükség, s elsősorban ez a gondolat vezette. Azután a többi számra is alkalmazta ezt az oktalan elvet. Hétezer-tizenhárom helyett például azt mondta, hogy Máximo Pérez; hétezer-tizennégy helyett azt, hogy A vasút; más számok helyett, hogy Luis Melián Lafinur, Olimar, kén, treff, a bálna, a gáz, a kávéskanna, Napóleon, Agustín de Vedia. Ötszáz helyett azt mondta: kilenc”.
(Borges: Funes, az emlékező)

Borges egy olyan számrendszert ír le, amely nem kettes, tízes vagy éppen hatvanas alapú, hanem legalább huszonnégy ezres, és ez érdekes kérdésekhez vezet.Méghozzá nem csupán olyanokhoz, hogy nem lehetne-e ezt sokkal – fogalmazzunk talán így – gazdaságosabban csinálni. Amennyiben abból indulunk ki, hogy az ábécében „az ortográfiai jelek száma huszonöt” (hogy Borges Bábeli Könyvtár című művét idézzem), úgy három helyi érték használatával ugyan nem, de néggyel minden nehézség nélkül jelölni tudnánk nemhogy 24,000, de akár 300 ezer számot is. Mármint ha megengednénk az aaaa „számnévtől” kezdve bármit a „zzzz”ig és „…” ig meg „a?i+”-ig bezárólag, ugyanis amennyiben bármelyik helyre 25 jel kerülhet, úgy 25x25x25x25 különböző változat lehetséges. Harminc ortográfiai jel esetén pedig három „helyi érték” is elég lenne az összes szám tárolásához, míg 155 ortográfiai jelnél kettő. És persze 24 ezer ortográfiai jel esetén eggyel is beérhetnénk . Az unicode aktuálisan mindenesetre 98,884 különböző grafikus karaktert tartalmaz (vagyis közel négyszer több jelet, mint Funes rendszere), és mivel a „kódterében” 1,114,112 hely van, ezért még jócskán bővíthető lenne. Vagyis, akár egy ekkora számrendszert is ráépíthetnénk úgy, hogy minden elemét külön névvel látjuk el; és persze azt is megtehetnénk, hogy például az ismert könyvek címét a szerzővel együtt rendelnénk hozzá a számokhoz jelölőként. A Google szerint 129,684,880 mű jelent meg 2010-ig, és ha előfordulhat is, hogy két, azonos nevű szerző azonos című könyvet ír (mivel vannak gyakori nevek, a címek ésszerű hossza pedig bár csak lazán, de azért korlátozott), még így is bőven százmillió fölé jutnánk. Az pedig ismét csak sok nagyságrenddel növelné meg a „kódteret”, ha az esetleg előforduló egybeesések kiszűrése után az egyes művek egyes sorait választhatnánk számnevekként.
És ez még mindig csak a kezdet. Borges fentebb már említett, Bábeli Könyvtár című novellájában ugyanis 25^1,312,000 (!) kötet van, és mivel az egyes művek esetleg mindössze egyetlen karakterben különböznek, nem a sorokat, hanem magukat a könyveket lenne érdemes a megnevezéshez használni. Ami persze még mindig nem „végtelenül sok”, és még akkor sem lesz az, ha a Borges-novellában szereplő 410 oldalas könyvek helyett negyven ezer oldalas enciklopédiákat használunk.
Ott van ugyanis például az úgynevezett Graham-szám, amely a matematikai számításokban valaha valóban szereplő legnagyobb szám, és még a leírásához sem lenne elég hely az ismert Világmindenségben. És még ha idáig minden számot megneveznénk is, bármikor szükség lehet egy még nagyobbra…
Azaz sokkal célszerűbb egy olyan megoldást használni – még amennyiben valamiféle szuper-Funesként képesek lennénk is minden egyedi számnevet megjegyezni –, ahol a rendszerből generálható le a szükséges név: ahol mintegy a rendszer logikája határozza meg, hogy az adott denotátumhoz (jelölő) milyen designátum (jelölt) tartozik.
Nem mellékesen a legalább a Dalgarno óta létező „filozófiai mesterséges nyelvek” is ilyesmivel próbálkoznak, hiszen mennyivel egyszerűbb lenne, ha egy új nyelv szavai helyett ugyanúgy csak a szabályokat kellene elsajátítanunk, mint a tízes számrendszernél, hogy aztán tetszőlegesen nagy számokat (illetve a nyelv esetében kifejezéseket) generálhassunk le. Amikor azonban a nyelvész Arika Okrent a valóságban is megpróbált egy rövid szöveget egy ilyen (esetében nem Dalgarno, hanem John Wilkins nevéhez fűződő) mesterséges nyelvre lefordítani, akkor azt tapasztalta, hogy „a nyelvet… konceptuális precizitás iránti igénye nagyon nehezen használhatóvá teszi. Mielőtt bármit mondanál, pontosan tudnod kell, hogy mit akarsz”, úgyhogy – legalábbis emberi lények számára – ez nem tűnik járható útnak.
És Funes-féle megoldás követése,ha a nyelv „lásd el önálló névvel” felfogását alkalmazzuk a számok megnevezésére, hasonlóképpen használhatatlan végeredményhez vezet – miként a fentebbiekből már kiderülhetett.
Egyfelől tehát az egyik szélsőség a nyelv, ahol jó közelítésben mindennek van neve, de nem adhatóak meg univerzális előírások a denotátum és a designátum összekapcsolására. A másik szélsőség pedig a számrendszer, mert itt nagyon is léteznek szabályok (és ettől lesz olyan hatékony az egész). Vajon milyen átmenetek léteznek e között a két szélsőség között?
Másfelől: a valaha használt legnagyobb számrendszer a hatvanas volt, amely többek között azért is jó, mert feltűnően sok (összesen 12) osztója van, tehát könnyű vele dolgozni (osztani), és a közelében lévők közül csak a 120 múlja felül a saját 16 osztójával.
Én viszont a játék kedvéért kitaláltam egy új számrendszert. Legjobb tudomásom szerint senki nem próbálkozott hasonlóval még akkor sem, ha az általam választott megoldás bizonyos értelemben a lehető legrosszabb. Ugyanis én a 61-ből indultam ki, és az bizony prímszám?.
A számok elnevezésére pedig egy verset írtam, és így a 0-nak az első szó („Vers”), az 1-nek az „a” felel meg – és így tovább egészen a 60-asig (=”szerelem”). Csak arra kellett ügyelnem, hogy ugyanaz a kifejezés ne szerepeljen kétszer – és közben még remekül is szórakoztam, és a játék akár ki is terjeszthető. Írhatunk pl. haikut a szintén inkább csak hipotetikusnak tekinthető tizenhetesről (5+7+5) csakúgy, mint ahogy bármelyik másikat is megverselhetjük. Amit lehet, hogy egyszer meg is fogok tenni – elvégre ha van piem, akkor miért is ne lenne ilyen verstípus is. De addig is:

Vers a hatvanegyes számrendszerről
Ideje belátnunk: egyes számrendszerek
olykor akár versek is lehetnek,
miként ez itt, amely szavainak száma
(ha címsoráig bezárólag minden
 belekalkuláltatott)
hatvanegy: versem lehetőségeinek határa.
És persze számrendszerem kicsinyke világa
szintén korlátozott:
ebben majdhogynem biztos vagyok.
De azért nem kizárt, hogy tévedek, hiszen
ki tudja, mi jöhet még. Elvégre ezzel
bíbelődni nekem:
nem hozzáértés, hanem
játék vagy szerelem.

Jelölje x a matematikát?

 „Tételezzük fel, hogy az x a példában szereplő bárányok száma”, mondja a John Edensor Littlewood által a matematikai érdekességekről írott könyvben egy tanár, mire a diák azt válaszolja, hogy „Nem, inkább tételezzük fel, hogy az x nem a bárányok száma”. Wittgenstein szerint ez egy teljes értékű filozófiai vicc, és nem mellékesen nekem erősen úgy tűnik, hogy bizonyos értelemben a matematika is ilyen.

Ott vannak például az osztók. Az ókori Hellászban úgy gondolták, hogy a mi kifejezésünkkel élve a természetes számoknak két alapvető tulajdonságuk van: az, hogy mekkorák; illetve, hogy milyen számokkal oszthatóak. Ez a megközelítés kimondottan termékenynek bizonyult, mivel így gyorsan eljutottak nem csak a tökéletes számokhoz, ahol a szám osztóinak összege – magát a számot nem számolva ide – azonos a számmal: ilyen például a 6 (1+2+3). De ugyanígy a barátságos számokhoz (ahol az egyik szám osztóinak összege azonos a másik szám osztóinak összegével; ilyen a 220 és a 284); továbbá a ma alapvető jelentőségűnek tekintett prímszámokhoz is.
Ezt a koncepciót persze, ahol a számokon és osztóikon van a hangsúly, ki is terjeszthetjük. Feltehetjük például azt a kérdést, hogy
•    mely számok egyenlők egy, náluk kisebb szám osztóinak összegével (ezt jobb híján „egyirányú barátságos számnak” neveztem el, és például a 16 egyenlő a 12 osztóinak összegével);
•    mely számok esetén igaz, hogy az A szám + B szám osztói összege = B szám + A szám osztói összege (pl. 2 és 4);
•    mely számoknál látjuk azt, hogy az egyik szám + a másik osztóinak összege = másik szám + az egyik osztói összege (ilyen többek között a 3 és 20);
•    mely számok esetén találjuk azt, hogy az egyik szám + osztói összege = a másik szám + osztói összegével (pl. 6 és 11).
Amiben nem csak az az érdekes, hogy léteznek ilyen számok; illetve, hogy innentől kezdve talán leginkább történeti véletlennek tekinthető, hogy míg a barátságos számok népszerűek voltak, addig mondjuk az „egyirányú barátságos számok” nem kaptak különösebb figyelmet. Pedig miközben egyszerűen előállíthatóak, aközben – legalábbis nekem – ugyanúgy nem sikerült szabályt találnom rá, hogy hol fognak legközelebb felbukkanni, mint ahogy a prímekre sem ismert ilyen szabály. Erős a gyanúm, hogy a természetes számokból kiindulva és egyszerű szabályok alapján is könnyű olyan rendszereket létrehozni, ahol az a legegyszerűbb (vagy éppen az egyetlen) módja annak a kiderítése, hogy egy adott szám ilyen vagy olyan-e (mondjuk prím vagy „egyirányú barátságos szám”), ha kiszámítjuk. Értsd: a prímszámok „előre jelezhetetlensége” talán nem is meglepő és unikális tulajdonság (mármint ha igazam van).
Ráadásul eközben mintha csak a „legyen a bárányok száma x” helyzet állna elő. Ugyanis az osztókat (és ennek megfelelően az osztók összegét) többféleképpen is számolhatjuk.
Az egyik szerint az számít a szám osztójának, amivel a számot osztani lehet, vagyis ide tartozik az 1 meg maga a szám is (és az osztók ilyetén számolását a matematikában sigma(n)-nel jelölik). Ehhez képest az ókori görög matematikában az 1-et az osztók közé számolták, magát a számot viszont nem: ezért is lehetett a 6 tökéletes szám (közbevetőleg: egyetlen páratlan, tökéletes számot sem ismerünk, és Carl Pomerance-nak van egy levezetése, amely alapján valószínűnek tűnik, hogy ilyen nincs is).
De ha magát a számot nem tekintjük osztónak, akkor miért tekintenénk annak az 1-et? Elvégre a matematikában mindkettő „triviális” osztónak tekintik. Így számolva viszont legalább 1000-ig (tovább nem néztem meg) egyetlen tökéletes szám sem fog felbukkanni.
És ez esetben viszont tényleg elgondolkodhatunk rajta, hogy mit jelöljön, vagy ne jelöljön az a bizonyos, a bárányos viccben szereplő x.

Eukleidész és az origami

1847-ben egy Oliver Bryne nevű angol matematikus, aki amúgy Őfelsége alkalmazottjaként a Falkland-szigetekért felelt, megjelenttette az új illusztrációkkal ellátott Eukleidész-féle Elemeket. Ez „az egész 19. század egyik legkülönösebb és legszebb műve volt”, amelyben pirossal, sárgával, kékkel és feketével színezték ki a szögeket, területeket, vonalakat (és helyettesítették a betűkkel történő jelölést). Az eredmény: „Eukleidész sokkal intuitívabb lett… esztétikailag [pedig] jóval megelőzte a saját korát. A rikító, tiszta színek, aszimmetrikus tördelés, absztrakt formák és az üresen hagyott térrészek [mintegy] előre vetítették számos 20. századi festő műveit”, illetve a Bauhaust és a De Sijlt, mondja Alex Bellos brit tudománynépszerűsítő író.

Viszont bár azon kevés angol könyv egyike volt, amelyet a Londoni Világkiállításon is bemutattak, a kinyomtatott példányok háromnegyed része raktáron maradt, és két évvel később a kiadó csődbe is ment, és az egész a számomra a leginkább az érdekes, mert a külső megjelenése mellett miért is ne gondolhatnánk újra az ógörög geometriát más szempontból is?
Különösen, hogy a Philip Davis – Reuben Hersh szerzőpáros megfogalmazásával élve „Eukleidész mítosza” azt a meggyőződést jelenti, mely szerint az Elemek „az egész világra vonatkozó világos és kétségbevonhatatlan igazságokat tartalmaznak”. Valójában azonban legalább három, különböző típusú kérdést érdemes feltenni: mennyire szükségszerűek az ebben használt
•    kézzelfogható eszközök, melyeket az eukleidészi geometria „előállítására” szolgálnak; mennyire kézenfekvőek és jól megalapozottak a
•    matematikai definíciói és fogalmai; végezetül pedig léteznek
•    magára a matematika mibenlétére vonatkozó megfontolások is (amely leginkább a matematika filozófiához tartozik).
Ami a fentebbiek közül az elsőt illeti, az „eukleidészi szerkesztés” kizárólag a körző és az egyélű vonalzó (bizonyos módokon történő) használatát engedi meg. Márpedig ez nagyon is komoly korlátozást jelent annak ellenére is, hogy hatékonynak bizonyult mint kiindulási pont. És olyan következményei is vannak, mint mondjuk a pi kitüntetett szerepe, hiszen mennyire más lenne az egész geometria, ha a körző helyett ad absurdum egy rögzített szöggel meg egy rugalmas zsinórral dolgoznánk?
Amihez persze azt is érdemes hozzá tenni, hogy a hagyományos alapoktól el lehetett jutni a nem eukleidészi geometriákhoz – egy papírhajtogatáson alapuló „origami-geometriából” azonban nem valószínű, hogy sikerülne utat találnunk a hagyományos geometriákhoz.
Ugyanekkor vannak olyan feladatok, melyeket kizárólag „eukleidészi eszközökkel” nem tudunk megoldani. Ilyen
•    a déloszi probléma (ahol egy kétszeres térfogatú, kocka alakú oltárt kellene elkészíteni);
•    a szögharmadolás;
•    a kör négyszögesítése és
•    a szabályos hétszög szerkesztése
is.
Ami persze nem jelenti azt, hogy egyes, a „körzős-vonalzós” geometrián belül megoldhatatlan problémákra nincs válasz máshol. Margherita P. Beloch olasz matematikus még 1936-ban bebizonyította, hogy az „origami-geometria” segítségével elő tudunk állítani olyan kockát, amelynek a térfogata a kétszerese az eredetinek, és ma már, mondhatni, külön irányzat épült a papírhajtogatásos módszerekre, bizonyításokra meg tételekre. És itt nem is annyira önmagában az eredmény érdekes, hiszen a gyök kettőhöz (ld. kockakétszerezés) máshogy is eljuthatunk, hanem inkább az, hogy eközben valamit valamiért. Egy origami-geometriában az egyre többoldalú, szabályos sokszögeken keresztül eljuthatnánk ugyan a körig (sőt, a pi értékének kiszámításához is), ám egyáltalán nem biztos, hogy a kör ugyanolyan centrális alakzata lenne a geometriának, mint így. Sőt, én személy szerint szinte biztos vagyok benne, hogy nem.
És akkor arról még nem is beszéltünk, hogy hátha a Beloch-féle úton továbbhaladva olyan kérdéseket vethetünk fel, amelyeket a hagyományos megközelítés nem tesz lehetővé – és ezzel még mindig nincs vége a kérdéseknek.
Reuben Hersh a matematika mítoszai között említi, hogy „az általunk ismert matematika az egyetlen lehetséges”. Ez azonban nem igaz, hiszen miként a fentebbiekből már kiderülhetett, a felhasznált eszközök (ld. körző és vonalzó vs papírhajtogatás) befolyásolhatják, hogy mi számít jó vagy érdekes problémának.
Illetve azt is megtehetjük, hogy nem az eszközöket, hanem az alapfogalmakat értelmezzük újra: a fraktálgeometria például értelmezhető úgy is, mint ahol elvetjük azt a hagyományos (eukleidészi) felfogást, mely szerint valami vagy nulla (pont); vagy 1 (egyenes); vagy 2 dimenzióval (sík) rendelkezik stb., és e helyett azt mondjuk, hogy léteznek nem egész számú dimenziók is. Ami persze egyben azt is jelenti, hogy ha a Bólyai-Lobacsevszkij- féle az eukleidészi geometria keretrendszerén belülről érkezett egy posztulátum átértelmezésével (és honnét máshonnét is érkezhetett volna), akkor Mandelbrot minőségileg mást csinált, ugyanis mintegy az alapokat újraértelmezve, a hagyományos felfogás mellé állította a sajátját – és Poincaré talán még inkább ugyanezt tette a topológia („gumigeometria”) megalkotásakor.
Mindenesetre innentől kezdve elkezdhetünk azon tűnődni, hogy milyen, „más eszközalapú”; illetve más, „fogalom alapú” geometriák (mint amilyen a fraktálgeometria is) képzelhetőek el, és erős a gyanúm, hogy még mindkét területen rengeteg lehetőség van.

A sekély magyarázatoktól a minden elméletéig

Philip Gosse 19. századi angol természetbúvár azt vetette fel, hogy a Föld látszólagos régisége meg a Bibliában olvashatóak közötti ellentétet azzal lehetne feloldani, ha feltételeznénk, hogy a kövületek valójában nem ősmaradványok, hanem  a Teremtő a világ többi részével együtt hozta őket létre az első hat napon. Ezt az óta a különböző kormeghatározási módszerek persze megcáfolták, viszont a Gosse által alkalmazott megközelítés jó példa arra, amit sekély elméletnek nevezhetnénk. És ez elvezet a „minden elméletéhez is”.
De ahhoz eljussunk odáig, érdemes azzal kezdenünk, hogy John D. Barrow amerikai fizikus nyomán megkülönböztethetjük a „széles” és a „mély” magyarázatokat. Az ókorban/középkorban inkább az előbbit használták, amellyel a jelenségek minél szélesebb körét fogjuk át. Az például, hogy minden jelenség mögött valamiféle isteni entitások állnak, eléggé széles, viszont ekkor még minden külön jelenségre egy külön magyarázatot (istent) is be kell vezetnünk: az eső azért esik, mert az esőisten csinálja, és a szél azért fúj, mert a szélisten… és így tovább.

Ma viszont inkább az olyan elméleteket preferáljuk, amelyek mélyek, és a következtetések kívülről jövő beavatkozás nélkül, pusztán az eredeti feltételezés segítségével is működtethetőek. A modern fizikában nem kell minden újonnan felfedezett égitesthez egy újabb magasabb rendű mozgató létét is bevezetnünk – elég a gravitáció is. A sekélynél a „felsőbbrendű entitás csinálja” típusú megoldás azért nem alakítható valamiféle törvénnyé, mert nem tudjuk, hogy mi lesz a kimenet, az ugyanis változik. Az egyik esetben egy meteorológiai, a másikban egy csillagászati jelenségre kell „magyarázatot” találni, és ebben leginkább az az érdekes, hogy vadászó-gyűjtögetőként ilyen „sekély megközelítéssel” is viszonylag jól elboldogultunk, és nem volt szükségünk mélyekre ahhoz, hogy életben maradjunk, eszközöket készítsünk és áttérjünk a földművelésre stb.
Vagyis: kérdés, hogy miért olyan egyszerű a világ azon a szinten, ahol az őseink is éltek; illetve általánosítva: miért olyan egyszerű, hogy a lokális maximumkereséssel dolgozó evolúció is hatékonynak tud bizonyulni benne? Elvégre elképzelhető lenne az is, hogy annyira bonyolultak a szabályok, hogy az evolúció által alkalmazott próba-szerencse módszer egyszerűen nem működik.
Tehát feltételezhetjük, hogy egy olyan valóságban, amin nem tudnunk keresztül evickélni sekély elméletek segítségével, valószínűleg nemhogy az értelemig, de nem jutnánk el még az élet megjelenéséig sem – elvégre az élő szervezet bizonyos értelemben olyan rendszernek tekinthető, amely előrejelzéseket próbált tenni azzal kapcsolatban, hogy mi fog történni.
Schrödinger Mi az élet című, 1944-es tanulmányában arról beszél, hogy a rend a káoszból emelkedik ki, azaz: az atomi szinten jelen lévő kaotikus folyamatok nagyobb léptéknél jól követhető fizikai törvényekbe torkollnak, és ebből szerinte többek között az is következik, hogy szükségképpen nem atomi szinten élünk, mert „odalent” túlságosan nagy a zűrzavar ahhoz, hogy alkalmazkodni lehessen hozzá.
Innentől kezdve viszont többféle univerzum-modell vázolható fel aszerint, hogy a két különböző szinten miként viselkednek – a szinteket itt nem a fizikai mérettartományra vonatkoztatva, hanem elvont értelemben használva.
Elképzelhető, hogy a „magasabb szint” viszonylag egyszerű – miként a minket körülvevő valóság esetében is, ahol viszonylag egyszerű szabályok követésével is elboldogulunk.
De ez lehetne bonyolult és átláthatatlan (=az élet számára alkalmatlan) is.
A felszín alatt meghúzódó szabályszerűségek pedig elvileg lehetnének nem csak komplikáltak (miként a mi univerzumunkra jellemző), de akár roppant egyszerűek is. Valójában, mint ahogy elgondolkoztató, hogy a vadászó-gyűjtögetők által megtapasztalt valóságban viszonylag egyszerű eszközök is jól beválnak, legalább ugyanilyen furcsa az is, hogy amikor viszont elkezdjük közelebbről szemügyre venni a jelenségeket, akkor azok egyre bonyolultabbak lesznek. És erre persze válaszolhatnánk azt, hogy ahhoz, hogy ezen egyáltalán el tudjunk csodálkozni, nekünk is meglehetősen bonyolultnak kell lennünk – csak éppen nem szükségszerű, hogy bonyolult okozatoknak bonyolult okai legyenek. Értsd: innentől kezdve kérdés, hogy miért van ez így – illetve az is kérdés lehet, hogy tényleg így van-e, és a látszólagos bonyolultság legalul nem valamiféle alapvető szabályszerűséget takar-e.
Az az elképzelés, hogy létezhet valamiféle „mindenség elmélete” a fizikán belül, viszonylag új: Eddington és Einstein esetében még hóbortnak számított a keresése, és a main stream-be csak valamikor a ’80-as évektől került be – azóta viszont nagyon is. És ha sikerülne rábukkannunk, akkor a dolog úgy nézne ki, hogy az egyszerű „mindennapi valóság” mögött bonyolult szabályszerűségek lappanganak, ám ezek végső soron visszavezethetőek lennének egyetlen, a barrow-i értelemben vett „mély”, sőt, nagyon mély magyarázatra.
És ezzel egy újabb szintet adhatunk az eddigi építményhez, mert innentől kezdve a „minden elmélete” utáni kutatást úgy is megfogalmazhatjuk, mint ahol a legalapvetőbb szint egyszerűségét/összefüggéseit keressük a fizikában. Vagyis azt, amiből levezethető annak a középső szintnek az (innentől kezdve látszólagos) bonyolultsága, amelyre a számunkra érzékelhető „valóság” épül rá.
Természetesen elképzelhetőek olyan modellek is, ahol ez a bizonyos végső összefüggés egyszerűen nem létezik. Attól, hogy a vadászó-gyűjtögetők világának látszólagos egyszerűsége mögött ott van egy második réteg, ahová legfeljebb a modern tudomány segítségével tudunk leásni (márpedig az tény, hogy ott van), semmi sem teszi szükségszerűvé, hogy létezzen ez a harmadik is.
Úgyhogy egyfelől: tényleg ott van? Másfelől: amennyiben igen, úgy az is érdekes probléma, hogy az, hogy világ éppen úgy épül fel, ahogy, szükségszerűség-e; és nem lehetne-e másként; vagy csak a több (vagy akár végtelen számú) lehetséges megoldás egyike.
És ha szükségszerűség, akkor miért az; ha pedig nem az, akkor miért éppen ez valósul meg – és így tovább.
Idáig jutva nagyon jól el tudom képzelni, hogy miként teszünk majd fel ezen az úton haladva újabb és újabb kérdéseket – de legalább ugyanilyen hihető forgatókönyv az is, hogy mint ahogy a minden elmélete iránti érdeklődés is csak mostanában jelent meg, a jövőben a jelenlegi felfogás továbbvitele helyett inkább olyan problémákkal fogunk bíbelődni, amelyek ma még eszünkbe sem jutnak.

Univerzalitás, homogenitás, tudomány

Egy 2012 elején publikált elképzelés szerint létezhetnek olyan „időkristályok”, amelyek a nevüknek megfelelően és a hagyományos, térbeli kristályokkal ellentétben nem tér-, hanem időbeli periodicitást mutatnak, miközben a lehető legalacsonyabb energiaállapotban vannak. Vagyis bizonyos értelemben: ami elképzelhető térbeli, az számos esetben elképzelhető időbeli jelenségként is. És innét már csak egy lépés, hogy eljussunk addig, hogy a modern tudomány milyen alapelvekből indul ki a világ leírásakor.
Az újkorit megelőző arisztotelészi fizika szerint az égi és a földi testekre eltérő szabályok érvényesek: a Hold felettiek körpályán mozognak, örökkévalóak és romolhatatlanok; a Hold alattiak pedig egyenes vonalú mozgást végeznek, nem örökkévalóak és romlandóak. Lee Smolin amerikai fizikus szerint az igazán újat hozó fizikai elméletek addig egymástól távol eső területeket egyesítenek: Maxwell az elektromosságot és mágnességet; Einstein a teret és az időt; a Galilei nevével fémjelzett új fizika pedig Hold alatti és a Hold feletti világot. Ami egyfelől egyszerűbbé teszi a leírást (elvégre kétféle fizika helyett csak eggyel kell bajlódni); másfelől pedig elvezet a newtoni fizikához, ahol minden mozgó testre ugyanazok a törvények érvényesek – még akkor is, ha az nemhogy a Holdon túl, de tőlünk tíz milliárd fényévnyire található.

Vagyis teljesen egyetemes törvényekről van szó. Vagy legalábbis elsőre így tűnhet – de persze nem pontosan ez a helyzet. A newtoni törvények ugyanis csupán „a térre nézve” homogének, értsd: csupán annyi állítható róluk, hogy az Univerzumon belül elfoglalt helytől függetlenül mindenütt érvényesek (a Hold felett és alatt egyaránt). Viszont nagy sebességeknél az érvényüket veszítik, és az einsteini egyenletek veszik át a helyüket. Ha pedig valaki azzal akarna érvelni, hogy ezeknek az alacsony sebességekre vonatkozó megoldása viszont a newtoni eredményt adja ki, akkor gondoljunk arra, hogy bár ez is egy lehetséges értelmezés, a leírás egységességét ennek ellenére sem sikerül megóvnunk, mivel az einsteini fizika viszont a mikrovilág koppenhágai értelmezésén alapuló leírásával nem egyeztethető össze. Már csak azért sem, mert miközben a relativitáselmélet „olyan teóriának készült, amely független a megfigyelőtől”, mondja Michael Brooks A Fizika nagy kérdéseit tárgyalva (és ezért van az, hogy mindegy, hogy milyen sebességgel mozgunk, a fény hozzánk képest mindig ugyanolyan gyors lesz), aközben a mikrovilágban az a szabály, hogy a megfigyelő befolyásolja a megfigyelés eredményét.
Azaz innentől kezdve kérdés, hogy miként lehetne ezt a két, gyökeresen eltérő felfogást egy elméleten belül értelmezni.
John D. Barrow Theories of Everything című könyvében azt írja, hogy a tudomány megismerése vagy azért tarthat a végtelenségig, mert ilyen a valóság természete, és mindig van egy újabb, felfedezésre váró szint; vagy pedig azért, mert az általunk alkalmazott módszerek (például matematikák) csak egy ilyen leírást tesznek lehetővé. Ennek analógiájára: a fizika két végpontja: a makrokozmikus relativitáselmélet és a mikroszinten létező valóságot leíró kvantumfizika vagy azért tűnik összeegyeztethetetlennek, mert valójában az is, hiszen semmi sem teszi szükségszerűvé, hogy a valóság úgy legyen megkonstruálva, hogy ellentmondásmentesen bele tudjuk gyömöszölni egyetlen leírásba. Vagy pedig azért, mert az általunk alkalmazott jelenlegi megközelítés teszi a dolgot lehetetlenné, és erős a gyanúm, hogy amennyiben egy „nagy egyesített elmélet” megtalálását tekintjük a modern tudomány Szent Gráljának, úgy ez lenne az egyik rejtvény, amelyet meg kellene oldanunk, mielőtt tovább léphetünk.
Már csak azért is, mert bár Paul Permutter amerikai csillagász azt mondja, hogy „az a legérdekesebb, hogy a mély filozófiai kérdésekre mérésekkel válaszolunk”, a valóságban ennél bonyolultabb a helyzet. Sőt. Már David Hume felvetette, hogy a természet uniformitására vonatkozó feltételezés mintegy belénk van huzalozva, és (tehetnénk hozzá) akár még amellett is lehet érvelni, hogy ennek evolúciós okai vannak, hiszen vadászó-gyűjtögetőként érdemes volt abból kiindulnunk, hogy a környezet az egész Földön mindenütt egyformán működik.
Viszont ebből nem következik szükségképpen, hogy másutt is ez a helyzet. Samir Osaka angol tudományfilozófus megfogalmazása szerint „a természet mindeddig nagymértékben uniformnak tűnt. Ám ezt a tényt nem használhatjuk annak az állításnak az alátámasztására, hogy a természet a jövőben is uniform módon fog viselkedni.”
Ami témánk szempontjából két dolgot jelent. Egyfelől azt, hogy az uniformitás feltételezése valóban termékeny elképzelésnek bizonyult az utóbbi évszázadokban. A földönkívüli civilizációk keresésének a lehetősége mint tudományos kérdés például akkor merülhetett csak fel, amikor az arisztotelészi felfogást odahagyva abból indultunk ki, hogy a többi bolygó is hasonló a Földhöz. És ha hasonló, akkor ugye értelmes lények is élhetnek rajta.
Másfelől viszont amikor nem régiben elkészítettek egy olyan, átfogó térképet az Univerzumról, amely a több százmillió fényév nagyságú galaxis-szuperklasztereket ábrázolja, akkor ebből a fizikusi végzettséggel rendelkező Brian Dogson az a következtetést vonta le, hogy bár kis léptéknél a világmindenség nem homogén (elvégre az itt, a Földön miket körülvevő környezet más, mint a galaxisok szintjén), nagy léptéknél, 250 millió fényévnél viszont már az.
Eközben a „homogenitáselv” három válfaját sorolta fel:

• az „univerzális fizika törvénye”: eszerint a fizika törvényei mindenütt ugyanazok
• kopernikuszi elv: a Föld nincs kitüntetett helyen az Univerzumban
• kozmológiai elv: „az Univerzum bármely [tetszőlegesen választott] pillanatban homogén és izotrop… nagy lépték esetén”.

Nézzük most ezeket egyenként. Ami az univerzális fizika törvényét illeti, ez két kérdést vet fel. Először is, hogy a „mindenütt” azt jelenti-e, hogy térben és időben is, és ennek megfelelően a természeti törvények nem voltak mások a múltban, illetve nem lesznek mások a jövőben, mint most. Ha viszont eljátszhatunk azzal a gondolattal (mint ahogy vannak ilyen elképzelések), hogy esetleg időben változnak egyes fizikai állandók, úgy miért ne tételezhetnénk fel legalább a gondolatkísérlet kedvéért azt is, hogy ez az állítólagos „mindenütt ugyanaz” mégsem mindenütt igaz, és egyszerűen a Hume-féle természet univerzalitására vonatkozó elképzelésünk/meggyőződésünk van a háttérben? Továbbá az is kérdés (sőt, akár azt is mondhatnám, hogy igazából ez ám csak a kérdés), hogy ha mégis igaz, akkor miért: honnét származik a természeti törvények azonossága? Hiszen olyan egyszerű lenne nem egyformáknak lenniük (továbbá: miért éppen ezek és nem mások a törvények? Miért nem elég például – vagy tényleg nem elég-e – egyetlen törvény minden leírására, és így tovább).
Ami a másodikat, a kopernikuszi elvet illeti, az lényegében annyit mond, hogy nem mi vagyunk középen. Ennek a szélsőséges (és nagyon sikeres) továbbvitele az az einsteini fizika is, mely szerint egyetlen megfigyelő sincs kitüntetett helyzetben, és amelyet (miként már érintettük) mindeddig nem sikerült összebékíteni a kvantumfizikával.
A harmadik: a kozmológiai elv pedig a csillagász William Keel megfogalmazását kölcsönvéve annyit állít, hogy „megfelelően nagy skálánál az Univerzum tulajdonságai minden megfigyelő számára azonosak”, illetve ennek továbbfejlesztett változata, a „tökéletes kozmológiai elv” szerint ennek időben is igaznak kell(ene) lennie (mint ahogy annak idején a Steady State Univerzum elmélete épült erre a feltételezésre, újabban pedig az inflációs elmélet egy speciális változata).
Azt gondolom azonban, hogy az eddigiekkel ellentétes irányba is elindulhatunk. Hans Joachim Störig említi A filozófia világtörténetében, hogy mivel az indiaiak „mindig is inkább az örökkévalóra, mintsem az időben múlandóra” koncentráltak (valahogy úgy, mint a mai fizikusok, mondhatnánk némi iróniával), ezért náluk „nem létezett a mi fogalmaink szerinti tulajdonképpeni történetírás”, és ezért elestek bizonyos lehetőségektől.
Ami talán valami olyasmit is jelent, hogy jelenleg a tudomány a Hume-i uniformitáselképzeléssel összhangban az általános (és időben meg térben is változatlan) szabályszerűségekre koncentrál, de az így született eredmények megtartása mellett érdemes lenne a másik oldalról is körüljárni a dolgot, és ahelyett, hogy a változatlanságot meg az azonosságot keresnénk mindenütt, érdemes lenne a különbségekre koncentrálni. Elvégre ugyanúgy, mint ahogy az arisztotelészi égi és földi fizika szembeállításának elvetését követően gyorsan eljutottunk a hipotetikus idegen civilizációk utáni kutatásig (amit a Galilei előtti keretrendszerben értelmezni sem igazán lehetett), hátha most is hasonlóan érdekes ötleteink támadnának.
De akár még ennél is továbbléphetünk. A tudomány története az utóbbi évszázadokban ugyan az uniform nem uniform leírás szembeállításaként értelmezhető, de semmi sem teszi szükségszerűvé, hogy a jövőben is ebben a két fogalomban gondolkodjunk. Még akkor sem, ha jelenleg ötletem sincs, hogy akkor viszont miben.